Cieplne właściwości dynamiczne grzejnika podłogowego

Cieplne właściwości dynamiczne grzejnika podłogowego
6. Przegląd metod wyznaczania parametrów pracy
grzejnika w warunkach dynamicznych
6.1. Model matematyczny
6.1.1. Model matematyczny pola temperatury
Strumień przewodzonego ciepła jest proporcjonalny do gradientu temperatury, zgodnie
z prawem Fouriera:
gdzie:
q – wektor strumienia przewodzonego ciepła [W/m 2 ],
λ – współczynnik przewodzenia ciepła [W/mK],
T – temperatura [K],
∇ – operator Nabla [-].
W prostokątnym ukladzie współrzędnych:
W układzie współrzędnych cylindrycznych (r, θ, z)
q = −λ
∇T
(6.1)
∂ ∂ ∂
∇ = ex + ey
+ ez
(6.2)
∂x
∂y
∂z
∂ 1 ∂ ∂
∇ = er + eθ
+ ez
∂r
r ∂θ
∂z
W układzie współrzędnych sferycznych (r, θ, ϕ)
53
(6.3)
∂ 1 ∂ 1 ∂
∇ = ex + eθ
+ eϕ
(6.4)
∂x
r ∂θ
r sinθ
∂ϕ
Gdzie wektory jednostkowe ex, ey, ez, er, eq, ez stanowią bazę lokalną odpowiednio
w kartezjańskim, cylindrycznym i sferycznym układzie współrzędnych.
Pole temperatury jest skalarem, jego gradient jest wektorem, którego składowe
wynikają ze wzoru (6.1).
Równoczesne wykorzystanie prawa Fouriera i bilansu energii prowadzi do równania
różniczkowego Fouriera – Kirchoffa opisującego pole temperatury w nieruchomych
izotropowych ciałach stałych, jeżeli proces przebiega izobarycznie:
V q
∂h
∂ ⎛ ∂T
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎞
ρ = ⎜λ
⎟ + ⎜λ
⎟ + ⎜λ
⎟ +
(6.5)
∂τ
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠ ∂z
⎝ ∂z
⎠