Cieplne właściwości dynamiczne grzejnika podłogowego

Cieplne właściwości dynamiczne grzejnika podłogowego
gdzie:
ρ – gęstość substancji [kg/m 3 ],
h – entalpia właściwa [kJ/kg],
qv – wydajność objętościowa źródła ciepła [W/m 3 ],
τ – czas [s].
Równanie bilansu energii wewnętrznej dla objętości kontrolnej ma następującą postać:
∂
∂τ
∫
V
∫
ρudV
= − ρuw⋅
ndA −
A
∫ ρp
dV − ∫ q ⋅ ndA + ∫ qV
dV + ∫
V A
V
V
54
Dν
Dt
ΦdV
(6.6)
Przeanalizowano ogólne równanie bilansu energii wewnętrznej dla gazów, cieczy lub
ciał stałych przemieszczających się z prędkością w. Całka z lewej strony równania (6.6)
przedstawia zmiany energii wewnętrznej zawartej w objętości kontrolnej V w czasie.
Pierwszy człon po prawej stronie charakteryzuje strumień energii wewnętrznej dopływającej
do objętości kontrolnej, odniesionej do jednostki czasu. Po uwzględnieniu równania ciągłości
(6.5) drugi wyraz po prawej stronie można wyrazić następująco:
−
∫
V
Dν
p Dρ
ρ p dV = − ∫ dV = − ∫ p(
∇ ⋅ w)
dV
(6.7)
Dt ρ Dt
V
Odwracalna moc sprężania jest zużywana na zmianę gęstości czynnika ρ i przyczynia
się do zmiany energii wewnętrznej zawartej w objętości kontrolnej V.
Trzeci wyraz po prawej stronie równania to strumień energii przekazywany przez
przewodzenie. Czwarty wyraz przedstawia moc objętościowych źródeł ciepła o gęstości qv,
która może być funkcją położenia r, temperatury T lub czasu τ. Funkcja dyssypacji Φ jest
nieodwracalną mocą sił lepkości oddziałujących na poruszające się cząstki płynu.
Korzystając z twierdzenia Gaussa – Ostrogradskiego zastosowanego do pierwszego
i trzeciego wyrazu po prawej stronie oraz po uwzględnieniu (6.7) otrzymuje się:
−
∫
V
⎡ ∂
⎢
⎣∂τ
( ρu)
+ ∇ ⋅(
ρuw)
+ p(
∇ ⋅ w)
+ ∇ ⋅ q&
− q&
− Φ dV = 0
Gdy V→0, wówczas równanie (6.8) przyjmuje postać:
∂
∂τ
( ρu)
+ ∇ ⋅(
ρuw)
= −∇ ⋅ q&
+ q&
+ Φ
V
V
V
⎤
⎥
⎦
(6.8)
(6.9)