pdf - The World of Mathematical Equations

3.2. Уравнения состояния микрополярной жидкости 53Определение 3.1. Вязкоупругой микрополярной жидкостью будемназывать такую среду Коссера с памятью, которая нечувствительнак любым изменениям отсчетной конфигурации, сохраняющимплотность среды.Очевидно, что жидкость относится к класcу изотропных материалов.Поскольку тензоры Y t t(s) и K t t(s) в (3.9) не зависят от выбораотсчетной конфигурации, изотропная среда будет жидкостью тогда итолько тогда, когда зависимость от тензора u(t) в определяющих соотношенияхсводится к зависимости от det u(t) или, что эквивалентно,к зависимости от плотности ρ(t). Таким образом, справедливаТеорема 3.2. Общее представление определяющих уравнений вязкоупругоймикрополярной жидкости имеет видT(t) = H 1[ρ(t), B(t), Ytt (s), L t t(s) ] , (3.11)M(t) = H 2[ρ(t), B(t), Ytt (s), L t t(s) ] ,где H 1 , H 2 — изотропные операторы.В (3.11) учтено соотношение (1.29).Теорема 3.2 является обобщением теоремы Нолла [4, 82] о простыхжидкостях на случай микрополярных жидкостей.Для покоящейся жидкости имеем L t t(s) = 0, Y t t(s) = I и определяющиесоотношения (3.11) принимают вид уравнений состояния упругоймикрополярной жидкостиT = ϕ(ρ, B), M = ψ(ρ, B), (3.12)где ϕ, ψ – изотропные тензорные функции.Модель упругой микрополярной жидкости можно получить иначе,а именно как частный случай упругой изотропной среды Коссера,для которой функции f 1 , f 2 в (3.5) изотропны. Полагая в условииизотропности Q = H T , из (3.5) придем к такому представлению уравненийсостояния изотропного упругого материалаT = f 1(y −1 , y −1 · B ) = ϕ(y, B), (3.13)M = f 2(y −1 , y −1 · B ) = ψ(y, B).