pdf - The World of Mathematical Equations

92 Глава 8. Конвективная неустойчивостьдля случая механического равновесия в безразмерных переменных запишутсяв следующем видеθ 0 = −Y, α 0 = −AY. (8.19)Входящие в уравнения (8.14)–(8.18) безразмерные параметры определяютсяформуламиS 1 = µ 1 − µ 2, S 2 = ρν 1h 2, S 3 = µ 1h 2, (8.20)µ 1 η 1µ 2 1S 4 = ρν 1h 2η 1 µ 1, S 5 = j µ 1ρη 1,Gr = ρ2 gβθh 3µ 2 , Pr = µ 11ρχ .Здесь Gr и Pr – числа Грасгофа и Прандтля соответственно.Сформулируем теперь граничные условия. Так как, температураи угол ориентации микроструктуры на границах слоя фиксированыто, следовательно, возмущения температуры, угла ориентации микроструктурыи угловой скорости микрочастиц на границах слоя исчезают.Кроме этого, на твердых границах слоя возмущения скоростиобращаются в нуль. Таким образом, граничные условия при Y = ±1примут видυ 1 = 0, υ 2 = 0, τ = 0, a = 0, ω = 0. (8.21)Определим функцию тока для плоских возмущений соотношениямиυ 1 = − ∂Ψ∂Y , υ 2 = ∂Ψ∂X . (8.22)Учитывая (8.19), получим из системы уравнений (8.14)–(8.18) системууравнений следующего вида:∆∆Ψ − S 1 ∆ω + S 2 A ∂ ∂τ∆a + Gr∂X ∂X = ∂ ∆Ψ,∂t(8.23)∂ 2 a∆ω + S 4 ∆a + S 1 S 3 (∆Ψ − 2ω) = S 5∂t 2 , (8.24)ω = ∂a∂t − A ∂Ψ∂X ,∂τ∂t − ∂Ψ∂X = 1 ∆τ. (8.25)Pr