pdf - The World of Mathematical Equations

76 Глава 5. Вискозиметрические течения5.4 Течение ПуазейляВ качестве примера трехмерного течения рассмотрим стационарноеосесимметричное течение вязкоупругой микрополярной несжимаемойжидкости в круглой трубе, вызванное перепадом давления. Введемцилиндрические координаты R, Φ, Z так, чтобы ось Z совпадалас осью симметрии трубы. Будем искать решение в видеv = v(R)e Z , ω = 0, (5.12)p = −GZ + q(R),G = const,D 1 = e R cos α + e Z sin α, D 2 = e Φ , D 3 = −e R sin α + e Z cos α,α = α(R).В течении вида (5.12) тензор кривизны B и тензоры скоростейдеформаций согласно (1.6), (1.32) даются формуламиB = −α ′ e R ⊗ e Φ + 1 R e Φ ⊗ e Z , ε = v ′ e R ⊗ e Z , æ = 0.Тем самым, в течении (5.12) все тензоры скоростей деформации иизгибной деформации кроме ε обращаются в нуль. С учетом равенств(1.34) это означает, что в течении вида (5.12) зависимости уравненийсостояния от предыстории деформации заключаются в зависимостиот B и ε. Другими словами, в этом течении никакая жидкость неотличимаот жидкости дифференциального типа сложности (1, 0).Записав уравнения состояния в видеT = −pI + S(B, ε),M = M(B, ε),и используя свойство изотропности функций S и M, можно показать,что в течении (5.12) обращаются в нуль следующие компоненты тензоровS и M: S RΦ , S ΦR , S ZΦ ,S ΦZ , M RR , M ΦΦ , M ZZ , M RZ , M ZR .Уравнения движения сводятся к трем уравнениям относительно