pdf - The World of Mathematical Equations

90 Глава 8. Конвективная неустойчивость( ∂v2η 1 ∆ω + ν 1 ∆α + (µ 1 − µ 2 )∂X − ∂v )1∂Y − 2ω = j d2 αdt 2 , (8.3)ω = dαdt ,∂v 1∂X + ∂v 2= 0,∂Y(8.4)∂θ∂t + v ∂θ1∂X + v ∂θ2 = χ∆θ.∂Y(8.5)Здесь f 1 = 0, f 2 = g, g – ускорение свободного падения, использованоуравнение состояния для плотности вида ρ = ˜ρ(1 + β(θ − θ ◦ )),˜ρ – значение плотности при температуре θ ◦ , β – температурный коэффициентрасширения жидкости (β > 0); ∆ = ∂ / ∂X 2 + ∂ / ∂Y 2 . Далеезнак “˜” будем опускать.В состоянии равновесия система уравнений (8.1)–(8.5) допускаетрешение, зависящее только от Y (p = p 0 (Y ), θ = θ 0 (y), α = α 0 (y)),которое находится из уравнений (здесь штрих означает дифференцированиепо Y )и при учете краевых условийдается формулами−p ′ 0 + ρgβθ 0 = 0, α ′′0 = 0, θ ′′0 = 0, (8.6)θ 0 (h) = −θ ∗ , θ 0 (−h) = θ ∗ , (8.7)α 0 (h) = α B , α 0 (−h) = α H ,θ 0 = −θ ∗Yh ,α 0 = −A Y h(A = (α B − α H )/2). (8.8)Распределение давления p 0 определяется уравнениями (8.6) с учетомуравнений (8.8).Для исследования устойчивости механического равновесия плоскогобесконечного горизонтального слоя используем метод малых возмущений.Для этого рассмотрим малые нестационарные возмущенияθ 0 + τ, υ 1 , υ 2 , α 0 + a, p 0 + p, ω. Подставляя малые возмущения в системууравнений (8.1)–(8.5) и линеаризуя по τ, υ 1 , υ 2 , a, p, ω, получимсистему уравнений для возмущений: