pdf - The World of Mathematical Equations

Глава 9. Распространение поверхностных волн 103и уравнений состояния (3.21), (3.32) получим динамические условияна свободной границеp = 0,∂α∂Y − ∂η ∂α∂X ∂X= 0. (9.3)На свободной границе возможно также задание ориентации частицжидкости (т.е. задание угла поворота α). Это соотношение аналогичноусловию сильной ориентации в гидромеханике жидких кристаллов[41, 78]. В этом случае динамические условия принимают видp +(µ∂α|Grad (Y − η(X, t))| ∂Y − ∂η ) 2∂α= 0, α = α H , (9.4)∂X ∂Xгде α H известна.Кинематическое условие, необходимое для определения свободнойповерхности (функции η(X, t)), имеет стандартный вид [58, 83]∂η∂t + v ∂η1∂X = v 2. (9.5)Рассмотрим равновесные решения системы (9.1) при учете краевыхусловий (9.2), (9.5), (9.3) или (9.4). Нетрудно убедиться, чтопри выполнении краевых условий (9.3) существует только постоянноерешение: α = const, в то время как выполнение (9.4) приводитк решению для α, зависящему от координат: α = α 0 + AY , гдеA = (α H − α 0 )/H, α 0 – значение α при Y = 0.Линеаризованная в окрестности равновесного решения краеваязадача (9.1)–(9.5) описывает распространение волн бесконечно малойамплитуды в слое упругой микрополярной жидкости и дается формулами− ∂p∂X − µA ∂2 α∂X∂Y = ρ∂v 1∂t , (9.6)− ∂p ()∂Y − µA 2 ∂2 α∂Y 2 + ∂2 α∂X 2 = ρ ∂v 2∂t ,µ∆α = j ∂2 α∂t 2 + jA∂v 2∂t , ∂v 1∂X + ∂v 2∂Y = 0,