pdf - The World of Mathematical Equations

80 Глава 6. Устойчивость в магнитном полеЕсли µ 1 = µ 2 = 0 (µ k = µ·i k ), то моментное уравнение равновесия(4.4) не является однородным и принимает вид∂M 13∂X + ∂M 23∂Y + ρµ 3 = 0. (6.2)Для закона состояния (3.32) уравнение (6.2) сводится к соотношениюµ∆α + ρµ 3 = 0.В предположении об однородности магнитного поля, нетрудно проверить,что в случае плоской задачи условие совместности (3.27) дляобъемного момента вида (6.1) выполнено тождественно, т.е. равновесиемикрополярной жидкости под влиянием магнитного поля реализуемо.Аналогично действию магнитного поля можно учесть и влияниеэлектрического поля. Как и в случае жидких кристаллов [41], в микрополярныхжидкостях вообще говоря присутствуют различные эффекты,связанные с электрическими полями, например, флексоэлектрическийэффект.6.2 Переход ФредериксаВ теории жидких кристаллов примером ориентирующего влияниямагнитного поля служит переход Фредерикса, который заключаетсяв потере устойчивости однородного состояния равновесия слояжидкого кристалла, находящегося между гладкими пластинами, придостижении критического значения магнитного поля [41, 59]. Найденныеэкспериментально значения критического поля используются дляопределения упругих постоянных нематика.В рамках плоской задачи рассмотрим потерю устойчивости однородногополя микроструктуры микрополярной жидкости, занимающейполосу толщины h (рис. 6.2). Рассмотрим два случая направлениямагнитного поля. Пусть магнитное поле однородно и направленовдоль слоя: H = Hi 1 . Тогда уравнение равновесия (6.2) принимаетвидµ∆α + (χ 2 − χ 1 ) H 2 sin α cos α = 0. (6.3)С учетом краевых условий α = 0 при Y = 0, h уравнение (6.3)всегда имеет тривиальное решение α = 0 при любых значениях напряженностимагнитного поля H. Величина критического поля H ∗(1)k,