pdf - The World of Mathematical Equations

42 Глава 2. Теория напряженийРис. 2.8. Другое обозначение для моментов.2.4 О главных напряжениях и главных площадках длямикрополярной средыВ общем случае представление тензора напряжений Коши T вкаком-либо произвольном, не обязательно ортогональном базисе имеетвидT = t sk i s ⊗ i k ,где матрица t sk содержит девять ненулевых элементов.Рассмотрим задачу определения такого базиса, в котором представлениетензора T имеет наиболее простой вид.Хорошо известно, что в случае простых материалов, когда тензорнапряжений симметричен, такое представление является диагональнымT = σ 1 e 1 ⊗ e 1 + σ 2 e 2 ⊗ e 2 + σ 3 e 3 ⊗ e 3 , (2.25)где σ k – собственные числа матрицы t sk , называемые главными напряжениями,а e k – собственные векторы, образующие нормали к главнымплощадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения.С учетом симметрии T для простых материалов спектральное разложение(2.25) существует всегда, причем векторы e k ортогональны. Сфизической точки зрения спектральное разложение (2.25) означает,