pdf - The World of Mathematical Equations

22 Глава 1. Кинематика континуума Коссеравести следующие выкладкиdYdt = d dt (C · HT ) = dCdt · HT + C · dHT =dt= grad v · H T + C · (ω × H T ) = C · Grad v · H T +где ε = Grad v + I × ω.+C · (I × ω) · H T = C · ε · H T ,Определение 1.1. Тензор ε = Grad v + I × ω называется тензоромскоростей деформации микрополярной среды.Нетрудно убедиться, что ε является индифферентным тензором[61]. Если тело движется как абсолютно твердое, то ε = 0. Таким образом,ε характеризует скорость изменения чистой деформации тела.Заметим, что введенный тензор скоростей деформации в микрополярнойсреде ε несимметричен в отличие от обычно используемогов механике простых материалов тензора скоростей деформацийɛ 1 (Grad v + (Grad v)T ) .2Продифференцируем по времени тензор изгибной деформацииL 1 ( ∂H2 rs ⊗∂q)×s · HT .Индексом × внизу обозначается векторный инвариант тензоравторого ранга [61]. Например, для диады a ⊗ b векторный инвариантопределяется равенством (a⊗b) × = a×b. Операция () × являетсялинейной и перестановочной с операцией взятия производной по времени.Имеет место следующая последовательность выкладокdLdt = 1 2 rs ⊗= 1 2 rs ⊗[ ( ) ∂ dH∂q s · H T + ∂H ]dt ∂q s · dHT =dt×· H T + ∂H=[∂(H × ω)−∂q s= 1 [ ( ) ∂H2 rs ⊗ −∂q s × ω · H T −∂q s · (ω× H T )] ×(H × ∂ω )∂q s · H T + ∂H∂q s · (ω× H T )] .×