pdf - The World of Mathematical Equations

30 Глава 2. Теория напряженийЛемма Коши. Принцип действия и противодействия для микрополярнойсреды выражается соотношениямиt(R, N) = −t(R, −N), (2.5)µ(R, N) = −µ(R, −N), (2.6)Формулы (2.5), (2.6) описывают взаимодействие контактирующихмежду собой частей тела.Доказательство. Рассмотрим произвольную часть тела, занимающуюобласть V P и содержащую внутри себя точку R (рис. 2.2). РазрежемV P поверхностью Γ, проходящей через R, на две части V 1 , V 2 . Для доказательства(2.5), (2.6) воспользуемся динамическими законами Эйлера,применив их к V P , V 1 , V 2 .Применяя первый динамический закон Эйлера (2.3) к части V P сучетом равенства∫∫∫ddt M(P) = ρ d dt v dV,V Pвыполняющегося для достаточно гладкого поля скорости, имеем∫∫∫ρ d ∫∫∫ ∫∫dt v dV = ρf dV + t dΣ. (2.7)V P Σ PV PПрименяя (2.3) к части V 1 , получим∫∫∫ρ d ∫∫∫ ∫∫ ∫∫dt v dV = ρf dV + t dΣ +V 1 Σ 1 ΓV 1t(N 1 ) dΣ, (2.8)где Σ 1 – часть поверхности Σ, принадлежащая V 1 , N 1 – вектор внешнейнормали к Γ.Аналогично, для части V 2 имеем∫∫∫ρ d ∫∫∫ ∫∫ ∫∫dt v dV = ρf dV + t dΣ + t(N 2 ) dΣ. (2.9)V 2 Σ 2 ΓV 2