pdf - The World of Mathematical Equations

84 Глава 7. Термодинамика микрополярной средыε(t) = H 4[ρ(t), B(t), Ytt (s), L t t(s), θ t (s), g t (s) ] ,η(t) = H 5[ρ(t), B(t), Ytt (s), L t t(s), θ t (s), g t (s) ] ,где H 1 , H 2 , H 3 , H 4 , H 5 – изотропные операторы и функционалы.Здесь введены предыстории температуры θ t (s) = θ(t − s) и градиентатемпературы g t (s) ≡ g(t − s).Рассмотрим частные случаи уравнений состояния (7.3). Модельтермоупругой микрополярной жидкости имеет уравнения состоянияв формеT = T(ρ, B, θ), M = M(ρ, B, θ), h = h(ρ, B, θ, g),ε = ε(ρ, B, θ),причем выполняются соотношенияη = η(ρ, B, θ),T = ρ 2 ∂ψ∂ρ I − M·BT ,M = ρ ∂ψ∂B ,η = −∂ψ ∂θ ,где ψ ≡ ε − θη – массовая плотность свободной энергии. Уравнениетеплопроводности приводится к видуρθ dηdt= Div h + ρs,а неравенство Клазиуса-Дюгема сводится к неравенству Фурьеh·g ≥ 0.Для модели термоупругой жидкости диссипация энергии связана толькос теплопроводностью. Простейшим примером функции ψ служитзависимость, аналогичная (3.32)ρψ = 1 2[λtr 2 B + µtr ( B · B T ) + νtr B 2] + ρψ 0 (ρ, θ), (7.4)где ψ 0 – массовая плотность свободной энергии при B = 0. Этимуравнениям состояния соответствует линейная зависимость тензорамоментных напряжений от кривизны микроструктуры (3.34).Рассмотрим термодинамику вязкоупругих жидкостей дифференциальноготипа. Здесь, используя термодинамический подход [153],