pdf - The World of Mathematical Equations

Глава 8. Конвективная неустойчивость 93Граничные условия при Y = ±1 для системы уравнений (8.23)–(8.25) запишутся в следующем виде:∂Ψ∂Y = 0,∂Ψ∂X= 0, τ = 0, a = 0, ω = 0. (8.26)По аналогии с [15, 16] будем искать решение задачи (8.23)–(8.26)в виде так называемых нормальных возмущений:Ψ(X, Y, t) = ˜Ψ(Y ) exp(−λt + ikX),ω(X, Y, t) = ˜ω(Y ) exp(−λt + ikX),a(X, Y, t) = ã(Y ) exp(−λt + ikX),(8.27)τ(X, Y, t) = ˜τ(Y ) exp(−λt + ikX),где ˜Ψ(Y ), ˜ω(Y ), ã(Y ), ˜τ(Y ) – амплитуды возмущений, λ – декрементвозмущений, k – вещественное волновое число, характеризующее периодичностьвозмущений в горизонтальном направлении. Подставляя(8.27) в (8.23)–(8.25), получим систему уравнений для амплитуд в следующемвиде:˜Ψ (IV ) − k 2 ˜Ψ′′ + k 4 ˜Ψ − S1(˜ω ′′ − k 2 ˜ω ) + (8.28)+ikS 2 A ( ã ′′ − k 2 ã ) ( )+ ikGr˜τ = −λ ˜Ψ′′ − k 2 ˜Ψ ,˜ω ′′ − k 2 ˜ω + S 4 (ã′′ − k 2 ã ) + (8.29)+S 1 S 3( ˜Ψ′′ − k 2 ˜Ψ − 2˜ω)= λ 2 S 5 ã,˜ω = λã − ikA ˜Ψ, (8.30)λ˜τ − ik ˜Ψ = 1 (˜τ ′′ − k 2˜τ ) .Pr(8.31)Граничные условия (8.26) примут вид:˜Ψ ′ = 0, ˜Ψ = 0, ˜τ = 0, ã = 0, ˜ω = 0. (8.32)Система уравнений (8.28)–(8.32) имеет нетривиальные решенияпри определенных значениях декрементов возмущений λ, которые являютсясобственными числами этой краевой задачи. Они зависят от