pdf - The World of Mathematical Equations

32 Глава 2. Теория напряженийсто формула∫∫∫ {ddt N(P) = (R − R 0 ) × ρ d dt v + j d }dt ω dV.V PПрименяя второй динамический закон (2.4) последовательно к областямV P , V 1 , V 2 , и проводя такие же преобразования, получим∫∫0 = {(R − R 0 ) × (t(N 1 ) + t(N 2 )) + µ(N 1 ) + µ(N 2 )} dΣ. (2.11)ΓПри учете (2.5) из (2.11) следует вторая искомая формула (2.6),что и завершает доказательство.Доказанный принцип действия и противодействия существенноиспользуется при введении тензоров напряжений и моментных напряжений,даваемом теоремой Коши.Теорема 2.1. В каждой точке тела существуют тензоры второгоранга T и M, такие, что векторы напряжений и моментных напряжений,действующие на площадку с нормалью N, выражаютсяформуламиt = N · T, µ = N · M.Доказательство. Вначале докажем существование тензора T. Рассмотримпроизвольный параллепипед Π, ориентированный по осямдекартовой системы координат X 1 , X 2 , X 3 (рис. 2.3). Вектор нормалик поверхности параллепипеда с точностью до знака совпадает скоординатными ортами: N = ±i k (k = 1, 2, 3). Разложим вектор напряжений,действующий на поверхности параллепипеда, по базису i kt(R, i k ) = t ks (R)i s . (2.12)Далее в доказательстве аргумент R будем опускать. Здесь t ks – компонентыt в базисе i k . Из принципа действия и противодействия следует,чтоt(−i k ) = −t ks i s .