pdf - The World of Mathematical Equations

2.3. Тензоры напряжений и моментных напряжений 37∫∫∫V Π{j dωdt − ρm − t ksi k × i s − ∂m }ksi s dV = 0,∂X kоткуда вытекает дифференциальное уравнениеj dωdt − ρm = ∂m ks∂X ki s + t ks i k × i s . (2.21)Последнее слагаемое в (2.21) представляет собой уже встречав-△шийся ранее векторный инвариант тензора второго ранга T: T × =t ks i k × i s .Далее покажем, что представление (2.19) выполняется не толькодля координатных площадок. Для этого применим второй законЭйлера к произвольному тетраэдру и получим∫∫∫( ) dv(R − R 0 ) × ρdt − f + j dω }dt − ρm dV = (2.22)V T{∫∫= {(R − R 0 ) × t + N k m ks i s } dΣ++Σ T∫∫M 1M 2M 3{(R − R 0 ) × t + µ(N)} dΣ. (2.23)Приведем (2.22) к уравнению, содержащему только поверхностныйинтеграл по грани M 1 M 2 M 3 . Для этого в (2.22) преобразуем слагаемые,содержащие множитель (R−R 0 ). C учетом (2.18) и тождестваDiv [(R − R 0 ) × T] = (R − R 0 ) × Div T + T ×можно показать, что выполняется равенство∫∫∫ {( )} ∫∫dv(R − R 0 ) × ρdt − f dV − {(R − R 0 ) × t} dΣ =V T ∂V∫∫∫T= T × dV,V T