PDF complete version (5 MB) - ETH - LUE - ETH Zürich

Stand des Wissens 4
Stelle mit dem Lösungsraum schneiden zu lassen. Die Lösung des Problems wird
immer an einem Extrempunkt oder auf einer Kante des Polygons gefunden.
Normalerweise beinhalten mit diesem Werkzeug zu lösende Probleme sehr viele
Variablen, womit eine graphische Lösung verunmöglicht wird. Hierfür wurden
Algorithmen entwickelt. Der Simplex-Algorithmus soll an dieser Stelle kurz erläutert
werden.
x 1
, x 2
: Zustandsvariablen
x 1
x 2
Lösungsraum
z max
Restriktion
z
Optimale
Lösung
Lösung
Zielfunktion
x + a ⋅ x2
1
=
oder
x = −a
⋅ x2
z
1
+
z
Abbildung 2-1
Einfaches Beispiel der Linearen Programmierung.
Der Simplex-Algorithmus macht sich zunutze, dass die optimale Lösung nur auf
Extrempunkten und Kanten liegen kann, welche durch Restriktionsfunktionen
erstellt werden. Als Einstieg in den Algorithmus muss eine Ecke bekannt sein. Das
Vorgehen ist wie folgt:
Die von der Ecke ausgehenden Kanten werden hinsichtlich der Verbesserung der
Zielfunktion untersucht. Auf derjenigen Kante, wo die Verbesserung am grössten
ist, wird zum nächsten Eckpunkt gewandert. Dieser wird anschliessend nach
denselben Kriterien untersucht.
Das Resultat ist schliesslich die Lösung mit dem absoluten Optimum oder eine
Kante von Lösungskombinationen mit gleichem Zielfunktionswert.
Ein geschicktes Formulieren der Restriktionsfunktionen ist massgebend für den
Erfolg der Optimierung. Die Restriktionsformulierung bietet jedoch bei der
Abbildung komplexer Systeme durch den beschränkten Handlungsspielraumes
Probleme. REEVES (in RAY96) vermutet des Erfolges des Simplex Algorithmus’ und
anderer Methoden wegen die Tendenz dazu, Probleme in einen mit linearer
Programmierung lösbaren Rahmen zu pressen.
2.1.2 Heuristische Suchmethoden
Im Gegensatz zur linearen Programmierung wird das Optimum bei Heuristischen
Suchmethoden nicht durch eine systematische Analyse des Lösungsraumes,
sondern durch den Vergleich zufällig generierter Lösungen gesucht. Im einfachsten