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Kapitel 3. Particle Image Velocimetry
und G ′ zu bestimmen, ohne dabei die unbekannten Rauscheffekte berücksichtigen zu müssen.
Hierfür sind statistische Methoden notewendig.
3.3.2 Kreuzkorrelation als Ähnlichkeitsmaß
Eine Möglichkeit, eine Ähnlichkeit zwischen zwei Teilbildern zu beschreiben ist die Kreuzkorrelation,
welche folgendermaßen beschrieben ist:
K∑ L∑
C (x, y) = R (i, j) · G (i + x, j + y), (3.1)
i=−K j=−L
wobei R dem Referenzbild entspricht und G das Grauwertbild darstellt, in dem das Referenzbild
gesucht wird. x und y beschreiben die Komponenten des Verschiebungsvektors
d(x, y). Je größer der Wert von C ist, desto ähnlicher sind sich die zwei Teilbilder. Aus
obiger Gleichung lassen sich zwei wichtige Eigenschaften der Kreuzkorrelation ableiten:
ˆ die Anzahl der benötigten Multiplikationen steigt proportional zur Größe des Referenzbildes
(K × L),
ˆ es lassen sich nur lineare Verschiebungen detektieren.
Der große Vorteil der Kreuzkorrelation besteht aber darin, dass sie sich alternativ sehr
effektiv im Frequenzbereich berechnen lässt. Der Kreuzkorrelationswert zweier Funktionen
ist nach [30, Gleichung 5.2] gleich der konjugiert-komplexen Multiplikation derer Fourier-
Transformierten:
C ⇔ ˆR · Ĝ∗ , (3.2)
wobei ˆR und Ĝ die Fourier-Transformierten von R und G darstellen.
Die Fouriertransformation wird auf Rechnern mithilfe der diskreten Fouriertransformation
(DFT) berechnet, wobei in der Praxis der deutlich effizientere FFT-Algorithmus (Fast Fourier
Transformation, [20, S. 70ff]) verwendet wird. Die Berechnung der Kreuzkorrelation
mithilfe der FFT ist in Abb. 3.7 dargestellt.
Abb. 3.7: Berechnung der Kreuzkorrelation mit FFT.
Ein weiterer Nachteil der Standard-Kreuzkorrelation ist die Tatsache, dass die Grauwerte
der einzelnen Teilbilder als Absolutwert in die Berechnung eingehen. Dies führt dazu, dass
unterschiedliche Intensitätswerte beider Bilder, die z.B. aus Schwankungen der Beleuchtung
Masterarbeit Julian Paar 27