Complex Analysis - Maths KU

f(z) =···−
6.3 Laurent Series 333
Now,
f1(z) =− 1
z
= − 1
2
= − 1
2
= − 1
2
1
= −
2+z − 2
1
z − 2
1+
2
�
z − 2 (z − 2)2
1 − +
2 22 (z − 2)3
−
23 + ···
z − 2 (z − 2)2
+ −
22 23 + (z − 2)3
24 −···
This series converges for |(z − 2)/2| < 1or|z − 2| < 2.Furthermore,
f2(z) = 1
z − 1 =
1 1
=
1+z − 2 z − 2
= 1
z − 2
= 1
z − 2 −
�
1 − 1
z − 2 +
1
+
(z − 2) 2
1
1+ 1
z − 2
1
−
(z − 2) 2
1
−
(z − 2) 3
�
�
1
+ ···
(z − 2) 3
1
+ ···
(z − 2) 4
converges for |1/(z − 2)| < 1or1< |z − 2|.Substituting these two results in
(17) then gives
1
+
(z − 2) 4
1
−
(z − 2) 3
1 1 1
+ −
(z − 2) 2 z − 2 2
z − 2 (z − 2)2
+ −
22 23 + (z − 2)3
24 −···
This representation is valid for z satisfying |z − 2| < 2 and 1 < |z − 2|; in
other words, for 1 < |z − 2| < 2.
EXAMPLE 6 ALaurent Expansion
Expand f(z) =e 3/z in a Laurent series valid for 0 < |z | < ∞.
Solution From (12) of Section 6.2 we know that for all finite z, that is,
|z | < ∞,
e z =1+z + z2 z3
+ + ··· . (18)
2! 3!
We obtain the Laurent series for f by simply replacing z in (18) by 3/z,
z �= 0,
e 3/z =1+ 3
z
+ 32
2!z
2 + 33
This series (19) is valid for z �= 0, that is, for 0 < |z| < ∞.
+ ··· . (19)
3!z3