Complex Analysis - Maths KU

Answers to Selected Odd-Numbered Problems ANS-19
31.
33.
∞�
k=0
1
1 − 3z
(−1) k (z +1) k ,R= √ 2;
y
Exercises 6.3, page 334
x
∞�
k=0
(−1) k
(2 + i) k+1 (z − i)k ,R= √ 5
37. 1.1+0.12i
1. 1 z z3 z5
1 1 1
− + − + ··· 3. 1 − + − + ···
z 2! 4! 6! 1!· z2 2!· z4 3!· z6 5.
9.
e
z − 1
1
3(z − 3)
11. ···−
+e+ e(z − 1)
2!
1 z − 3
− +
32 33 1
+
3(z − 4) 2
13. ···− 1 1 1
− −
z2 z 2
17.
1
3(z +1)
e(z − 1)2
+ +··· 7. −
3!
1
3z
(z − 3)2
−
34 + ···
1 1
−
3(z − 4) 12
− z
2
2 − z2
− 1
3
z
− 2 3
z − 4 (z − 4)2
+ −
3 · 42 3 · 43 + ···
3 − z2
−···
34 −1
−··· 15.
23 z − 1 − 1 − (z − 1) − (z − 1)2 −···
2 2(z +1)
− −
32 33 2(z +1)2
−
34 −···
19. ···− 1 1 1 z
+ − −
3z2 3z 3 3 · 2
21. 1
z +2+3z +4z2 + ··· 23.
z2
− −···
3 · 22 1
z − 2 − 3+6(z − 2) − 10(z − 2)2 + ···
25. 3
z − 4 − 4z − 4z2 2 2 2
−··· 27. ···+ + + +1+(z−1) (z − 1) 3 (z − 1) 2 z − 1
29. 1 z 7z3
+ + + ···
z 6 360
Exercises 6.4, page 340
1. Define f(0)=2. 3. Define f(0)=0.
5. −2+i is a zero of order 2.
7. 0 is a zero of order 2; i and −i are simple zeros.
9. 2nπi, n =0,±1, ... , are simple zeros.
11. order 5 13. order 1
15. −1+2i and −1 − 2i are simple poles.
17. −2 is a simple pole; −i is a pole of order 4.