Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

More documents

Recommendations

Info

Grups cíclics i grups diedrals Objectiu: classificar les figures planes i afitades segons el seu grup d’isometries Observant els valors de la taula anterior ens adonem de uns quants resultats interessants: a) L’angle més petit de gir és igual a 360º dividit pel nombre de girs, i els altres girs tenen un angle múltiple enter d’aquest. b) El nombre de simetries axials, si no és nul, és sempre igual al nombre de girs. (Si una figura té un eix de simetria i un gir d’angle aleshores la recta que forma un angle /2 amb el primer eix és també eix de simetria). c) Figures diferents poden tenir el grup de simetries format pels mateixos elements. En resum els conjunts d’isometries que deixen una figura invariant són de dos tipus: 1. Si la figura no té eixos de simetria, aleshores està format pels girs d’angles d’amplitud 360ºk/n amb k=1,2,..., n. Aquest conjunt de girs s’anomena grup cíclic d’ordre n i s’indica per Cn 2. Si la figura a més dels girs C n té simetries aleshores hi hauran n simetries amb els eixos que es tallen en el centre i que formen angles 180ºk/n amb k=1,2,..., n. Aquest conjunt de girs i simetries s’anomena grup diedral d’ordre n i s’indica per D n . Els grups diedrals i els grup cíclics s’anomenen grups de Leonardo i ens permeten classificar les figures segons el grup de moviments que les deixen invariants. Així direm que una figura és del tipus cíclic o del tipus diedral segons si el seu grup de simetries és un grup cíclic o diedral. El nom de Leonardo prové de l’artista renaixentista Leonardo da Vinci (1452 –1519) que es va interessar per la Geometria aplicada a l’art, com ho demostren els seus escrits sobre la perspectiva, la construcció de polígons regulars i d’el·lipses, els seus treballs sobre àrees de superfícies curvilínies, etc. En els fulls dels seus quaderns dedicats a arquitectura dóna solucions al problema d’afegir capelles i nínxols a un edifici de planta circular o en forma d’octògon regular sense destruir-ne la simetria. Leonardo estudia els eixos de simetria d’aquestes plantes i els girs que les deixen invariants i té en compte aquests elements a l’hora de dissenyar l’edifici. El fet que la major part d’aquests projectes no es portessin a la pràctica demostra l’interès teòric que per a Leonardo tenien aquests dissenys. És per això que alguns autors parlin dels grups de Leonardo quan estudiem el grup d’isometries d’una figura plana i afitada. 150
Exercici 9 a) Quin tipus de grup de Leonardo és un polígon regular de n costats? b) Completeu l’última columna de la taula de l’exercici 8, indicant si es tracta d’un grup cíclic, o bé, d’un grup diedral. 151
Page 1 and 2:
Passeig matemàtic per Catalunya Te
Page 3 and 4:
[Pàg. 158] 7. Els frisos, les sane
Page 5 and 6:
qualsevol cosa, en la mesura que el
Page 7 and 8:
els que venien a continuació, és
Page 9 and 10:
conservació de la natura o actitud
Page 11 and 12:
l’entorn quotidià. Cal ser, per
Page 13 and 14:
La resolució de problemes en l’e
Page 15 and 16:
Polya posa la resolució de problem
Page 17 and 18:
de grau més gran que 2, es puguin
Page 19 and 20:
matemàtiques apareixen dificultats
Page 21 and 22:
Els referents de l’entorn La rela
Page 23 and 24:
9. Càlcul de dimensions i de mater
Page 25 and 26:
El material dirigit a l’alumne es
Page 27 and 28:
Bibliografia Antibi, André. La mot
Page 29 and 30:
1ª PART: LABERINTS I TEORIA DE GRA
Page 31 and 32:
2ª PART: ESTUDI MATRICIAL D’UN G
Page 33 and 34:
11 8 PLÀNOL DEL LABERINT DE CHEVEN
Page 35 and 36:
1 Làmina 2 REPRESENTACIÓ GRÀFICA
Page 38 and 39:
Làmina 3 78
Page 40 and 41:
Laberint II Làmina 4 80
Page 42 and 43:
En canvi, si l’illa de murs no co
Page 44:
PLÀNOL DEL LABERINT DE VERSALLES 8
Page 47 and 48:
Els grafs En una primera aproximaci
Page 49 and 50:
Exercici 10 APLICACIONS DE LA TEORI
Page 51 and 52:
Anomenarem grau d’un vèrtex al n
Page 53 and 54:
PLÀNOL DEL REPARTIDOR 93
Page 55 and 56:
Exercici 15 Aplicant els resultats
Page 57 and 58:
Grau d’entrada Grau de sortida b)
Page 59 and 60:
Les rondes de Barcelona 99 Làmina
Page 61 and 62:
s’afegeix a les connexions fetes
Page 63 and 64:
MAPA DE COMARQUES DE LLEIDA AMB LA
Page 65 and 66:
Estudi matricial d’un graf RCICIS
Page 67 and 68:
Exercici 4 0 1 La matriu d’un gr
Page 69 and 70:
En general, els termes ij a de Mn ,
Page 71 and 72:
D A B S C A’ Sobre el pla tangent
Page 73 and 74:
Fórmula d’Euler En un graf plana
Page 75 and 76:
Demostració per inducció de la f
Page 77 and 78:
V = augmenta 2 A = augmenta 3 C = a
Page 79 and 80:
Com que hem jugat amb tots els poss
Page 81 and 82:
EXERCICIS RESOLTS Exercici 1 L’es
Page 83 and 84:
Exercici 4 a) Aquesta és una possi
Page 85 and 86:
1 2 3 4 3 6 10 7 5 12 15 125 14 16
Page 87 and 88:
La forma de ruta tancada al voltant
Page 89 and 90:
Exercici 8 a) Una possible numeraci
Page 91 and 92:
c) Indicant cada ciutat amb la seva
Page 93 and 94:
Exercici 16 a) SP MS GC PM SF Grau
Page 95 and 96:
h) Es pot fer un recorregut euleri
Page 97 and 98:
Vielha Pont de Suert Sort Lleida Ba
Page 99 and 100:
SF SF 0 SP 1 MS 0 GC 0 PM 1 SP 1
Page 101 and 102:
a) Un dibuix del digraf és: b) El
Page 103 and 104:
0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
Page 105 and 106:
Farem una demostració gràfica. Qu
Page 107 and 108:
C 4 Tetràedre: V 4 C V 4 4
Page 109 and 110:
C 6 V 15 C V 6 15 19 2 A
Page 111 and 112:
Cn A ; per tant 2 151 A C n 2 Al
Page 113 and 114:
2 Santa Maria del Mar i les proporc
Page 115 and 116:
Orientacions didàctiques Els alum
Page 117 and 118:
MATERIAL PER A L’ALUMNAT La Vesic
Page 121 and 122:
Làmina 1 98
Page 123 and 124:
La geometria en l’arquitectura g
Page 125 and 126:
El vitrall dels Apòstols El vitral
Page 127 and 128:
Exercici 8 Treballem ara dins dels
Page 129 and 130:
Exercici 11: el vitrall de la Mare
Page 131 and 132:
EXERCICIS RESOLTS Exercici 1 La ves
Page 133 and 134:
Per Pitàgores obtenim: (a-x) 2 = x
Page 135 and 136:
circumcente en funció del costat A
Page 137 and 138:
4 3 2 2, 76 àrea de la meitat de
Page 139 and 140:
FITXA PER AL PROFESSORAT Nivell: Pr
Page 141 and 142:
MATERIAL PER A L’ALUMNAT El templ
Page 143 and 144:
Exercici 2 Sabem que el temple rom
Page 145 and 146:
entaulament Per calcular l’alça
Page 147 and 148:
BIBLIOGRAFIA Bassegoda Nonell, Joan
Page 149 and 150:
0, 5 1 ; l’escala és 1:220 1, 1
Page 151 and 152:
113
Page 153 and 154:
Exercici 5 Si considerem la llargad
Page 155 and 156:
117
Page 157 and 158:
Nivell: Segon Cicle d’ESO Coneixe
Page 159 and 160:
que permeten calcular les dimension
Page 161 and 162:
Sala A: Costats del quadrilàter de
Page 163 and 164:
Traceu les diagonals del quadrat i
Page 165 and 166:
M A B Q D P 134 N C
Page 167 and 168:
Exercici 4 l’absis Si sabem que e
Page 169 and 170:
Exercici 5 En l’exercici 1 hem ob
Page 171 and 172:
Amb una corda des de M marquem els
Page 173 and 174:
142
Page 175 and 176:
Radi dels nínxols = r’ 144
Page 177 and 178:
c) Què podem afirmar de la superf
Page 179 and 180:
Calcula l’àrea del cercle de di
Page 181 and 182: EXERCICI D’AMPLIACIÓ Leonardo da
Page 183 and 184: BIBLIOGRAFIA Camprubi, F. El monume
Page 185 and 186: e) A la vista de les mesures preses
Page 187 and 188: h) Les diferències entre les dist
Page 189 and 190: e) El triangle rectangle té els ca
Page 191 and 192: Exercici 6 a) Per a calcular el cos
Page 193 and 194: Exercici 7 d) L’àrea del triangl
Page 195 and 196: Exercici 8 Diàmetre de la lúnula
Page 197 and 198: Tenim, doncs, que l’àrea de la l
Page 199 and 200: l l Àrea del octògon = 4 triangle
Page 201 and 202: La demostració de la fórmula que
Page 203 and 204: Quant val la suma de les diagonals,
Page 205 and 206: Quadrats màgics. Curiositats i inv
Page 207 and 208: Exercici 5 Anem a trobar la relaci
Page 209 and 210: 3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1
Page 211 and 212: Exercici 1 1 14 14 4 11 7 6 9 8 10
Page 213 and 214: 10 42 18 43 26 2 34 41 17 49 25 1 3
Page 215 and 216: FITXA PER AL PROFESSORAT Nivell: Se
Page 217 and 218: Girs i simetries Objectiu: detectar
Page 219 and 220: Exercici 2 (Lleida) Observeu el ros
Page 221 and 222: 139
Page 223 and 224: c) Dibuixeu sobre el paper transpar
Page 225 and 226: Grup de simetries d’una figura Ob
Page 227 and 228: Exercici 6 Dibuixeu un triangle equ
Page 229 and 230: Triangle Quadrat Pentàgon Hexàgon
Page 231: D2 D3 E1 E2 E3 Catedral Barcelona C
Page 235 and 236: 153
Page 237 and 238: Exercici 16 Trobeu el motiu mínim
Page 239 and 240: c) Apliqueu al dibuix anterior, amb
Page 241 and 242: Exercici 1 EXERCICIS RESOLTS L’es
Page 243 and 244: Exercici 3 161
Page 245 and 246: ) S3 = simetria d’eix perpendicul
Page 247 and 248: En general, l’angle que formen do
Page 249 and 250: D2 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225
Page 251 and 252: Exercici 18 a) Dibuixem un motiu en
Page 253 and 254: FITXA PER AL PROFESSORAT Nivell: Se
Page 255 and 256: Girs i simetries Objectiu: detectar
Page 257 and 258: Exercici 2 (Lleida) Observeu el ros
Page 259 and 260: 163
Page 261 and 262: f) Dibuixeu sobre el paper transpar
Page 263 and 264: 167
Page 265 and 266: Exercici 5 Dibuixeu un triangle equ
Page 267 and 268: El resultat de compondre dues simet
Page 269 and 270: D3 E1 E2 E3 Catedral Barcelona Cate
Page 271 and 272: Exercici 9 c) Quin tipus de grup de
Page 273 and 274: 177
Page 275 and 276: Exercici 16 Trobeu el motiu mínim
Page 277 and 278: La figura resultant és del tipus D
Page 279 and 280: Exercici 1 EXERCICIS RESOLTS L’es
Page 281 and 282: Exercici 3 185
Page 283 and 284:
d) Id G H S1 S2 S3 Id Id G H S1 S2
Page 285 and 286:
Exercici 8 En la pàgina següent s
Page 287 and 288:
D2 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225
Page 289 and 290:
Exercici 18 d) Dibuixem un motiu en
Page 291 and 292:
FITXA PER AL PROFESSORAT Nivell: Se
Page 293 and 294:
Les sanefes Exercici 1 Observeu els
Page 295 and 296:
Observeu les sanefes de la làmina
Page 297 and 298:
Un edifici curiós de Girona En la
Page 299 and 300:
Els frisos de la Porta dels Fillols
Page 301 and 302:
Porta dels Fillols de la Seu Vella
Page 303 and 304:
Construcció de sanefes Objectius:
Page 305 and 306:
Exercici 9 Fabricació d’un fris
Page 307 and 308:
Classificació de frisos Per a pode
Page 309 and 310:
EXERCICIS D’AMPLIACIÓ Motiu mín
Page 311 and 312:
Exercici 1 EXERCICIS RESOLTS d) b)
Page 313 and 314:
v a) b) c) d) e) v v v v
Page 315 and 316:
superfície decorada. El vector v
Page 317 and 318:
Doble Ziga-zaga El vector v és la
Page 319 and 320:
del 10è pis té simetria horitzont
Page 321 and 322:
Nota: El centre de gir pot ser qual
Page 323 and 324:
211
Page 325 and 326:
i) La translació que hem aplicat
Page 327 and 328:
Exercici 14 Classificació de friso
Page 329 and 330:
e) f) O Aplicant gir de 180º i cen
Page 331 and 332:
Page 333 and 334:
El treball al carrer L’exercici 6
Page 335 and 336:
Alguns dels mosaics que estudiarem
Page 337 and 338:
Hi ha alguna altra direcció al lla
Page 339 and 340:
Museu de la Ceràmica de Barcelona
Page 341 and 342:
Exercici 6: Museu de la Ceràmica d
Page 343 and 344:
Exercici 8 Finalment repetirem el m
Page 345 and 346:
Ordre 2: L’ordre màxim dels girs
Page 347 and 348:
Algoritme de classificació dels mo
Page 349 and 350:
Exercici 9 Aplicant l’algoritme d
Page 351 and 352:
Mosaic B Mosaic C 207
Page 353 and 354:
Mosaic D Mosaic E 209
Page 355 and 356:
EXERCICI D’AMPLIACIÓ En els exer
Page 357 and 358:
Mosaic I Nº 88. Catàleg de mosaic
Page 359 and 360:
Mosaic K Nº 373 Catàleg de mosaic
Page 361 and 362:
BIBLIOGRAFIA Alsina, Claudi ; Pére
Page 363 and 364:
Page 365 and 366:
El treball al carrer L’exercici 6
Page 367 and 368:
Alguns dels mosaics que estudiarem
Page 369 and 370:
Hi ha alguna altra direcció al lla
Page 371 and 372:
Museu de la Ceràmica de Barcelona
Page 373 and 374:
Exercici 6: Museu de la Ceràmica d
Page 375 and 376:
Exercici 8 Finalment repetirem el m
Page 377 and 378:
Ordre 2: L’ordre màxim dels girs
Page 379 and 380:
Algoritme de classificació dels mo
Page 381 and 382:
Exercici 9 Aplicant l’algoritme d
Page 383 and 384:
Mosaic B Mosaic C 247
Page 385 and 386:
Mosaic D Mosaic E 249
Page 387 and 388:
EXERCICI D’AMPLIACIÓ En els exer
Page 389 and 390:
Mosaic I Nº 88. Catàleg de mosaic
Page 391 and 392:
Mosaic K Nº 373 Catàleg de mosaic
Page 393 and 394:
Alsina, Claudi ; Pérez, Rafael i R
Page 395 and 396:
Nivell: Primer Cicle d’ESO FITXA
Page 397 and 398:
Per resoldre la qüestió 5c, haura
Page 399 and 400:
les cadires i els tamborets Barcelo
Page 401 and 402:
Exercici 4 L’ònix daurat El mate
Page 403 and 404:
Exercici 6 El marbre verd grec. El
Page 405 and 406:
237
Page 407 and 408:
Làmina 2 239
Page 409 and 410:
Àrea total de la superfície cober
Page 411 and 412:
9 El pavelló Mies van der Rohe Cà
Page 413 and 414:
Per fer els diferents recomptes que
Page 415 and 416:
MATERIAL PER A L’ALUMNAT El pavel
Page 417 and 418:
Exercici 2 El paviment del terra es
Page 419 and 420:
Per veure’n la dificultat calcule
Page 421 and 422:
BIBLIOGRAFIA A.A.V.V. El pavelló a
Page 423 and 424:
Làmina 1 238
Page 425 and 426:
Exercici 2 EXERCICIS RESOLTS c) 1
Page 427 and 428:
c) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03
Page 429 and 430:
Page 431 and 432:
Per resoldre la qüestió 5c, haura
Page 433 and 434:
les cadires i els tamborets Barcelo
Page 435 and 436:
Exercici 4 L’ònix daurat El mate
Page 437 and 438:
Exercici 6 El marbre verd grec. El
Page 439 and 440:
237
Page 441 and 442:
Làmina 2 239
Page 443 and 444:
Àrea total de la superfície cober
Page 445 and 446:
9 El pavelló Mies van der Rohe Cà
Page 447 and 448:
Per fer els diferents recomptes que
Page 449 and 450:
Page 451 and 452:
Exercici 2 El paviment del terra es
Page 453 and 454:
Per veure’n la dificultat calcule
Page 455 and 456:
BIBLIOGRAFIA A.A.V.V. El pavelló a
Page 457 and 458:
Làmina 1 238
Page 459 and 460:
Exercici 2 EXERCICIS RESOLTS g) 1
Page 461 and 462:
e) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03
Page 463 and 464:
Page 465 and 466:
Page 467 and 468:
Exercici 5 El travertí blanc i) Hi
Page 470 and 471:
Làmina 1 10
Page 472 and 473:
Exercici 2 EXERCICIS RESOLTS i) 1
Page 474:
f) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03
show all

Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?