Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

Escriviu el nombre de vèrtexs en funció de A i k i el nombre de cares en funció de A i n.
Escriviu la fórmula d’Euler en el cas dels políedres regulars de manera que només hi
intervingui: A, n i k.
Ara veurem quins són els possibles valors de k i n que satisfan aquesta fórmula. Els
valors de k i n determinen el políedre regular.
Si heu resolt l’exercici anterior haureu arribat a una fórmula equivalent a:
2An + 2Ak = Akn + 2kn
Igualant a 0 i traient factor comú a A:
0 = A(kn – 2n – 2k) + 2kn (*)
Com que A>0 i 2kn>0 obtenim:
kn – 2n – 2k < 0
Per tant:
(k - 2)(n – 2) – 4 < 0
D’aquí
(k - 2)(n – 2) <
Exercici 15
Fent servir la fórmula anterior respon aquestes qüestions:
a) Quins són els valors mínims de n i k.
b) Quin és el valor màxim de n.
c) Per cada valor de n dóna els valors possibles de k i esbrina de quin políedre regular
es tracta. Pot fer una taula d’aquest tipus, per completar-la has de fer servir (*):
n k A V C Nom del
políedre
118