Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

Anomenarem grau d’un vèrtex al nombre d’arestes que el tenen per extrem. A les rutes
que segueixen les condicions del problema les anomenarem circuits eulerians.
Euler va raonar de la manera següent: per poder arribar a un vèrtex del graf i poder
sortir-ne el grau del vèrtex ha de ser parell ja que per cada aresta emprada per arribar-hi
se’n necessita una altra per sortir-ne. En el cas que un vèrtex tingui grau senar podrem
arribar i sortir del vèrtex un nombre de vegades igual al nombre de parelles d’arestes
diferents que vagin a parar a ell i sempre ens quedarà una aresta per recórrer. D’aquí va
deduir les conclusions següents:
Si tots els vèrtex tenen grau parell es pot trobar rutes que compleixin les condicions
començant des de qualsevol punt (circuit eulerià).
En el cas que hi hagi exactament dos vèrtexs de grau senar podem trobar una ruta
que comenci per un d’aquests dos vèrtexs i que passant per totes les arestes acabi en
l’altre vèrtex de grau senar (recorregut eulerià).
Si el nombre de vèrtexs de grau senar és més gran que 2 aleshores el graf no té cap
circuit, ni cap recorregut eulerià.
Fixeu-vos que eulerià en el cas dels grafs vol dir que el recorregut passa per totes les
arestes.
I ara, contesteu la pregunta: És possible fer un circuit eulerià pels set ponts de
Königsberg?
Exercici 12
Resoleu l’exercici 10 utilitzant els resultats d’Euler.
Exercici 13
A un repartidor de propaganda que va per les cases deixant papers a les bústies li han
tocat els carrers següents de la ciutat de Barcelona, representats en el plànol de la làmina
6: Sant Antoni Maria Claret, Cartagena, Marina, Avinguda Gaudí, Gran Via i Avinguda
Meridiana, en els trams que uneixen els llocs següents: Metro Sagrera, Hospital de Sant
Pau, església de la Sagrada Família, plaça de braus Monumental i plaça de les Glòries.
El repartidor arriba a la feina amb metro, fa el recorregut a peu, i se’n torna a casa seva
en metro. Tots els llocs anteriors tenen una parada de metro del mateix nom a prop.
91