Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

Classificació dels mosaics periòdics
La major part del paviments i dels enrajolats són repeticions d’un mateix dibuix que van recobrint una
superfície. Els mosaics periòdics són aquells que els podem considerar com una malla de paral·lelograms
iguals que recobreixen la superfície.
La malla està determinada per les dues direccions de les translacions de vector mínim que desplacen el
mosaic sobre ell mateix. Aquestes dues translacions les anomenarem translacions principals.
El grup d’isometries del mosaic periòdic és el conjunt d’isometries (translacions, girs, simetries axials,
simetries amb lliscament) que deixen la malla invariable, és a dir, superposada sobre ella mateixa.
Els mosaics periòdics queden determinats a partir del seu grup d’isometries.
E. S. Fedorov, estudiant cristalografia, va demostrar que hi ha exactament 17 grups diferents que donen
peu a 17 tipus de mosaics. Això ens permet classificar els mosaics segons el seu grup d’isometries. Al
Palau de l’Alhambra de Granada s’hi pot trobar models dels 17 tipus, cosa que fa pensar que els àrabs del
segle XII eren uns grans coneixedors de la geometria dels mosaics periòdics.
Anomenarem ordre d’un mosaic a l’ordre màxim (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui
igual a la Identitat) dels girs que pertanyen al grup d’isometries.
Els 17 grups d’isometria dels mosaics periòdics s’agrupen en 4 famílies segons l’ordre de gir :
Ordre 1: No hi ha girs diferents a la Identitat.
200