Caracterización de Arenas y Gravas con Ondas Elásticas

Doctorado en Ingeniería – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Cuyo – Año 2007
Lic. Armando Luis Imhof
ANEXO B
Desarrollo de las Expresiones para las Trayectorias de Rayos Sísmicos en Medios
Heterogéneos y Anisótropos Verticales.
A partir de las ecuaciones (1.18) a (1.28) del Capítulo 1 se derivarán expresiones para V(θ),
siguiendo la ley de velocidades (1.20) y luego para la trayectoria z(x) general del rayo en este tipo
de medios, así como para los tiempos t(z). Esto permitirá deducir las expresiones que se utilizan en
la PM6.4 y que permiten calcular la anisotropía y heterogeneidad de un medio general, así como dar
origen a los programas trazadores de rayos curvos.
Despejando z de la ecuación (1.26):
a
z = C1.
senθ
−
b
dz = C1.cosθ.
dθ
dz
también : = z'
dx
⇒
dz
dx =
z'
( B.
1)
( B.
2)
( B.
3)
Reemplazando (B.2) en (B.3), teniendo en cuenta que z’=cotgθ :
C1.cosθ.
dθ
dx =
cosθ
senθ
integrando:
⇒ dx = C1.senθ.
dθ
x = −C1.
cosθ + C2
( B.
4)
diferenciando
Las ecuaciones paramétricas (B.1) y (B.4) representan familia de circunferencias desplazadas del
origen:
2
⎛ a ⎞
2 2
⎜ z + ⎟ + ( x − C2)
= C1
(B.5)
⎝ b ⎠
Para deducir la ecuación (B.5) se utilizó una variación vertical de la velocidad V=a+b.z; donde el
factor b se define como heterogeneidad vertical. Ahora se deberá incluir la anisotropía c, definida
como:
c=Vh/Vv anisotropía transversal (vertical) (B.6).
En el desarrollo expuesto, para incluir la (B.6) se necesita ‘aplastar’ las circunferencias en la
dirección z; es decir afectar del factor c (