Caracterización de Arenas y Gravas con Ondas Elásticas

Doctorado en Ingeniería – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Cuyo – Año 2007
Lic. Armando Luis Imhof
En los medios homogéneos la trayectoria de tiempo mínimo es una recta, pero cuando existe
heterogeneidad éstas varían. A continuación se deducirán expresiones para los tiempos de viaje en
aquellas situaciones. Las mismas serán utilizadas luego en el capítulo 6 y la planilla matemática
PM6.4 (Anexo A).
Sean los puntos E y R (Figura 1.7). Se pretende calcular la trayectoria de tiempo mínimo entre los
mismos. De la figura se puede obtener:
Δs
=
ds =
Δx
2
1+
z'
+ Δz
. dx
1+
( Δz
) Δx
2 ( Δz
) . Δx
. Δx
s = ∑ Δs
= ∑ 1+
Δx
(1.18)
En el límite : Δz
= dz = z'
Δx
dx
2
2
=
2
la expresión general para la velocidad, reemplazando la última de las ecuaciones 1.18:
2
ds
ds 1 + z'
V = ⇒ t = ∫ = ∫ dx
dt
V V
Supóngase que la velocidad varíe verticalmente con la siguiente ley:
V z
(1.19)
( z)
= a + b.
z (heterogeneidad vertical) (1.20)
reemplazando en ecuación 1.19:
t
( z)
2
ds 1+
z'
= ∫ = ∫ dx
V a + b.
z
z
( z)
(1.21)
Hay que encontrar z(x) que haga mínimo el t(z). Para ello se hace uso del cálculo variacional
(capítulo 4), aplicando la conocida expresión de Euler.
x1
Sea : t(
z)
= ∫ F
x0
con : z'
= dz
dx
( x,
z,
z')
dx
La expresión general para la ecuación de Euler es (Elsgoltz, 1977):
(1.22)
total }
d
F − ( ) 0
{ z F
{ z'
=
dx
EDO de 2º Orden (1.23)
=
z'= cte
cte x
10
= =
z cte
cte x