Actas JP2011 - Universidad de La Laguna

Actas XXII Jornadas de Paralelismo (JP2011) , La Laguna, Tenerife, 7-9 septiembre 2011Algoritmo 1 B&B1: Inicializar ns := 2 × (2 n − 1)2: Inicializar la lista Λ 1 := {C 1 , . . . , C 2n −1}3: Inicializar la lista Λ 2 := {C 2 n, . . . , C ns }4: Inicializar las listas Q 1 := {} y Q 2 := {}5: while Λ 1 , Λ 2 ≠ {} do6: Seleccionar un símplex C = C k de Λ j7: Evaluar C8: Calcular f L (C) y b L i (C), i = 1, . . . , t k9: if C no puede ser eliminado then10: if C satisface la regla de terminación then11: Almacenar C en Q j12: else13: Dividir C en C ns+1 , C ns+214: C := arg mín{f L (C ns+1 ), f L (C ns+2 )}15: Almacenar {C ns+1 , C ns+2 } \ C en Λ j16: ns := ns + 217: Ir a 718: end if19: end if20: j := (j mód 2) + 121: end while22: return Q 1 y Q 2globales dentro de la precisión establecida) requiereel diseño de un algoritmo de Ramificación y Acotación(Branch & Bound, B&B) específico. Los métodosB&B se caracterizan por cuatro reglas: Ramificación,Selección, Acotación y Eliminación [11], [12]. Sedebe incluir una regla de Terminación para problemasdonde las soluciones vienen determinadas poruna precisión establecida. En los algoritmos B&B,la región de búsqueda es dividida recursivamente enpartes disjuntas (ramificación) sobre las cuales se determinanlos límites de un valor de la solución óptima(acotación). Se define el límite superior global f U comoel valor de la función objetivo de la mejor soluciónε-robusta encontrada hasta ahora. De esta forma, sepueden descartar subconjuntos C k con un límite inferiorfkL de la función objetivo que sean mayores queel límite superior f U , ya que se puede garantizar queno contienen una solución óptima.Una descripción detallada del Algoritmo 1 se puedeencontrar en [6]. El Algoritmo 1 usa una lista detrabajo Λ j y una lista final Q j para cada producto.Aquí resumiremos las características más relevantespara el desarrollo de una versión paralela. Cadasímplex es una región que satisface (1) y sus vérticesson posibles recetas o mezclas (véase la Figura 1).Las reglas B&B usadas en el Algoritmo 1 se describena continuación:Ramificación: Se divide el símplex por el ladomás largo o por aquel lado definido por los vérticesmás caro y más barato.Acotación: Para cada símplex se calculan doslímites inferiores:Coste: f L (C) es el límite inferior del coste de unsímplex C y es proporcionado por el vérticecuyo coste es menor, debido a que los símplicesson convexos y la función de coste es lineal.Cantidad de cada materia prima: b L i (C) es ellímite inferior del uso de cada materia prima ien un símplex C. Este límite inferior es obtenidode manera análoga al límite inferior delcoste.Selección: Se realiza una búsqueda híbrida: combinaciónde la búsqueda en profundidad y labúsqueda ✭✭primero el mejor✮✮. Se selecciona elsímplex más barato, basado en la suma de loscostes de sus vértices, y se realiza una selecciónen profundidad hasta que el símplex no puedaser dividido más (véase el Algoritmo 1, las líneas6, 14 y 17). De esta forma, se pretende reducirel consumo de memoria del algoritmo.Eliminación: Se aplica un conjunto de tests basadosen restricciones lineales, cuadráticas y derobustez a los símplices de un producto, véase[4]. Además, existen otros tests de rechazo dondehay que tener en cuenta ambos productos.Estos tests son los siguientes:Test de disponibilidad: Se defineβi,j L = D j × mín x i (2)x∈C∈Λ j∪Q jcomo el límite inferior de la demanda de materiaprima i en el espacio de búsqueda actualdel producto j. Un símplex C k en el productoj no satisface la restricción de disponibilidadsiD j × b L i (C k ) + β L i,j ′ > B i, (3)donde j ′ hace referencia al otro producto.Test de Pareto: Si se encuentra un par de mezclasfactibles (x, y), siendo x ∈ C ∈ Λ 1 ∪ Q 1e y ∈ C ∈ Λ 2 ∪ Q 2 , con f(x) + f(y) f U ω(x,y) , (5)con x ∈ C k e y ∈ P u,j ′.Terminación: Los símplices no rechazados quealcanzan el tamaño requerido α son almacenadosen Q j .El resultado del Algoritmo 1 es un conjunto demezclas Pareto-óptimas (dentro de la precisión α) ylas listas finales Q j , j = 1, 2, que, además de lasmezclas, contienen los símplices que no han sido rechazados.Durante la ejecución del algoritmo, se actualizanlos límites inferiores βi,j L y ϕL u,j basándose en losJP2011-23