Téléchargement - Ecole Française du Béton

Où A 2 %
Chapitre VII.Modélisation micromécanique multi-échelle du retrait endogène au très jeune âge
est défini par la forme suivante :
hom
−1
2 = ⎡ + 1 : ( 2 − ) ⎤
A ⎣I P C C
% % % % % ⎦
VII-25
Où 1 P désigne le tenseur de forme d’Eshelby et pour des inclusions de forme sphérique, on
%
écrit :
1 3( k + 2 μ )
P1 = I +
I
% 3k + 4μ % 5 μ (3k + 4 μ ) %
Où
vol
I %
vol 1
I = δijδ kl
% 3
vol 1 1 dev
1 1 1 1 1
désigne le tenseur identité sphérique et
et
vol dev
I + I = I
dev
I %
VII-26
le tenseur identité déviatorique, tel que :
(δ étant le tenseur identité d’ordre 2). Pour un milieu élastique
% % %
homogène isotrope, le tenseur d’élasticité homogénéisé (VII-27) est défini par :
μ
hom hom hom
C = 3k J + 2 K
% %
Où
hom
k et
%
VII-27
hom
μ désignent les modules de compressibilité et de cisaillement homogénéisés et
vérifient le système d’équations obtenu en utilisant les expressions de (VII-28), (VII-29) et
(VII-30) :
k − k
2
hom
i
∑ fi
= 0
hom hom
VII-28
i= 1 1 + α(
ki − k ) / k
μ − μ
2
hom
i
∑ fi
= 0
hom hom
VII-29
i= 1 1 + β ( μi − μ ) / μ
hom
3k
Avec : α =
3k + 4μ
hom hom
hom hom
6( k + 2 μ )
et β = hom hom
5(3k + 4 μ )
VII-30
Les modules de rigidité macroscopiques sont alors obtenus à partir des équations (VII-28) et
(VII-29) en considérant que le matériau est isotrope à l’échelle macroscopique. L’évolution
dans le temps de ces modules dépend donc des fractions volumiques de chaque phase ( f i )
ayant des modules élastiques intrinsèques. Ces modules ont été identifiés expérimentalement
et un récapitulatif est présenté en annexe.
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