Calcul des etats atteignables de programmes Esterel partitionne ...

2.4. CALCUL SYMBOLIQUE DES ÉTATS ATTEIGNABLES 23Chaque fonction de transition δ i possède son propre support de variable. L’opérateur existentieln’est pas distributif par rapport à l’opérateur “∧” ce qui nous interdit de simplifier l’équationprécédente par une formule de la forme ∧ pi=1 ∃I i, R i / r i ′ = δ i(I i , R i ). En évitant de rentrer dansles détails, la solution consiste à fractionner l’opération existentielle en cherchant les fonctionsayant des supports communs. Par exemple, une formule comme :peut se réécrire de la manière suivante :∃x, y, z / f(x) ∧ g(x, y) ∧ h(x, z)∃x / f(x) ∧ [ ∃y / g(x, y) ] ∧ [ ∃z / h(x, z) ]Dans le calcul de l’image, chaque quantification est ainsi appliquée sur un nombre minimalde fonctions de transitions. Par rapport à une élimination existentielle globale, cette techniquepermet souvent en pratique de briser la complexité exponentielle originale.L’ordre dans lequel est appliqué l’opérateur existentiel a une influence sur les performancesde ce partitionnement. Dans une formule comme :∃x, y, z / f(x, y) ∧ g(x, z) ∧ h(y, z)nous pouvons partitionner le calcul de trois manières différentes selon que l’on souhaite quantifieren priorité x, y ou z :∃x, y / f(x, y) ∧ [ ∃z / g(x, z) ∧ h(y, z) ]∃x, z / g(x, z) ∧ [ ∃y / f(x, y) ∧ h(y, z) ]∃y, z / h(y, z) ∧ [ ∃x / f(x, y) ∧ g(x, z) ]Des travaux permettent d’améliorer le partitionnement proposé dans [21] afin de déterminer unordre intéressant. Dans [62, 60, 61], cet ordre est déterminé directement à partir des formulesbooléennes. Dans [74], des informations de haut niveau permettent de guider et d’améliorer cecalcul.2.4.2 CofacteurLe calcul symbolique de l’image d’un ensemble par une fonction utilise largement des techniquesde simplification connues sous le nom de techniques de cofactoring [28, 29, 30]. Contrairementà d’autres méthodes de simplification, cette technique s’accompagne de perte (contrôlée)d’information. Le principe est que si la valeur d’une fonction f n’est pertinente que sur undomaine de définition restreint S, alors S peut être utilisé pour simplifier l’expression de f(éventuellement en changeant la valeur de f en dehors de S). Nous notons f ↓S le cofacteur def par l’ensemble S :{f(X) si X ∈ Sf ↓S (X) = λX →(2.16)? si X ∉ SLa valeur de f ↓S en dehors de S n’est pas utilisée et peut valoir n’importe quoi. En pratique,des techniques existent pour simplifier la taille de la représentation de la fonction f ↓S . La figure2.10 illustre l’effet du cofacteur sur une fonction.