Calcul des etats atteignables de programmes Esterel partitionne ...

5.2. CORRECTION DES ALGORITHMES 71et donc :Comme A n+1 = A n nous avons :P n ∩ A n−1 = P n ∩ A n = ∅P n = ∅ ∨ P n ∩ A n ≠ ∅Nous savons par ailleurs que P n ∩ A n = ∅, nous avons donc :P n = ∅Les suites R n et A n sont croissantes et majorées par B K , donc on démontrerait facilement qu’ilexiste un entier n tel que R n+1 = R n = R n−1 et que A n+1 = A n = A n−1 . Donc la suite P nconverge vers ∅.5.2.3.3 R part ⊇ Θ n∀n > 1, ∀x ∈ P n−1 x ∈ P n ∨ ∆(x) ∈ R n . Nous voulons montrer que tout élémentappartenant à P ne peut sortir de P que lorsque son image est calculée. Si P n vérifie l’équation5.20, alors la propriété est évidente. Sinon, deux cas se présentent selon que x appartient ounon à A n−1 :– si x ∈ A n−1 alors :– si x ∉ A n−1 alors :∆(x) ∈ ∆(P n−1 ∩ A n−1 ) ⊆ R nx ∈ P n−1 A n−1 ⊆ P n∀n > 0 ∃m / ∆(P n ) ⊆ R m . L’image de tout ensemble P n est contenu dans R part .Démontrons cette propriété par l’absurde et supposons que :∃x ∈ P n / ∀mNous déduisons de la propriété précédente que :∃x ∈ P n / ∀m > n∆(x) ∉ R mx ∈ P mor cette propriété est fausse puisque nous avons démontré que P n converge vers ∅.∀n > 0, ∀x ∈ R n x ∈ P n ∨ ∆(x) ∈ R n . Nous voulons montrer que pour tout élément xde R n , si l’image de x par ∆ n’est pas dans R n , alors x appartient à P n .Cette propriété est vraie pour n = 1 :P 1 = R 1 = ιSi la propriété est vraie pour n − 1 alors elle est vraie pour n. Si P n vérifie l’équation 5.20 alorscette propriété est évidente. Si :alors :∀x ∈ R n−1∀y ∈ R nx ∈ P n−1 ∨ ∆(x) ∈ R n−1y ∈ P n ∨ ∆(y) ∈ R nSi P n vérifie l’équation 5.21 alors deux cas se présentent :– si y ∈ R n−1 alors la propriété est démontrée par hypothèse de récurrence.– si y ∉ R n−1 alors y ∈ ∆(P n−1 ∩ A n−1 ) R n−1 et donc y ∈ P n .La propriété est donc vraie pour tout n.