Calcul des etats atteignables de programmes Esterel partitionne ...

5.2. CORRECTION DES ALGORITHMES 67Afin de démontrer la correction de notre algorithme, nous traduisons les algorithmes 2.1 et5.1 précédents sous forme de fonctions mathématiques récursives.5.2.1 Rappels et hypothèsesPropriétés du point fixe.point fixe µ(Θ) :Le théorème de Tarski nous permet d’expliciter la valeur de notreµ(Θ) = limn→∞ Θn (∅) (5.4)Comme nous travaillons dans l’ensemble fini B K , il existe un entier m tel que :µ(Θ) = Θ m (∅) (5.5)Calcul de Θ n (∅). Par commodité, nous définissons la suite Θ n de la manière suivante :Θ n = Θ n (∅) ∀n ≥ 0 (5.6)Nous cherchons à traduire l’expression de Θ n sous la forme d’une équation récursive. Nousvoulons montrer que :Vrai pour n = 1 :Si vrai pour n − 1 alors vrai pour n :Vrai pour tout n > 0.Θ n = Θ n−1 ∪ ∆ n−1 (ι) ∀n > 0 (5.7)Θ 1 = ι ∪ ∆(∅)= ι ∪ ∅= Θ 0 ∪ ∆ 0 (ι)Θ n = Θ(Θ n−1 ) par définition= Θ ( Θ n−2 ∪ ∆ n−2 (ι) ) par hypothèse de récurrence= ι ∪ ∆ ( Θ n−2 ∪ ∆ n−2 (ι) ) par définition de Θ= (ι ∪ ∆(Θ n−2 )) ∪ ∆ n−1 (ι) d’après 5.8= Θ(Θ n−2 ) ∪ ∆ n−1 (ι) par définition de Θ= Θ n−1 ∪ ∆ n−1 (ι)Propriétés de la fonction de transition.croissante. Ainsi :La fonction de transition ∆ est une fonctionIl est également facilement démontrable que :∆(F ∪ G) = ∆(F ) ∪ ∆(G) (5.8)∆(F G) ⊇ ∆(F ) ∆(G) (5.9)