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56 CHAPITRE 4. NOTATIONSabortloop pause 1 end||pause 2 ; pause 3when S;present T thenpause 4 ;[ pause 5 || pause 6 ]elsepause 7 ; pause 8end;pause 9La construction des frontières permet de diviser le programme en quatre blocs. Le premierconstitue le corps de l’instruction abort, le second et le troisième correspondent à la branche“then” et à la branche “else” du present et le dernier bloc est constitué de la dernière pausesituée après l’instruction present.||F 1 F2.114 ||2 3?TF 2.27 856FF2.12.29Fig. 4.1 – Exemple de graphe de flot de contrôle de programme Esterel. Les frontières F 1 ,F 2.1 et F 2.2 représentées par les lignes discontinues ont été produites par les instructions abortet present.4.2.3 Graphe de contrôle et partitionnementDans notre graphe de flot de contrôle, les arcs de type “frontière” permettent de diviser leprogramme en deux parties : à l’intérieur de la frontière se trouve l’ensemble des blocs actifsque nous souhaitons explorer. A l’extérieur de la frontière se trouve l’ensemble des blocs quenous ne souhaitons pas explorer et qui doivent demeurer inactifs.La traduction des programmes Esterel en circuit produit un registre de contrôle pour chaqueinstruction pause. Cette traduction nous permet de caractériser très précisément l’ensemble desétats du programme situés à l’intérieur de la frontière. Si P désigne les blocs de programmesitués à l’intérieur de la frontière et si Q désigne les blocs de programme situés à l’extérieur dela frontière, alors les états situés à l’intérieur de la frontière sont les états dans lesquels aucunregistre de Q n’est actif. L’intérieur de la frontière n’est donc pas décrit à partir de l’ensembledes registres potentiellement actifs mais à partir des registres que nous forçons à être inactifs.Codage des blocs actifs. Etant donné un ensemble de variables de BDD R = {r 1 , . . . r n },nous introduisons l’opérateur NOr(R) défini de la manière suivante :NOr(R) = λX → ¬ r 1 ∧ . . . ∧ ¬ r n (4.13)
4.2. LE GRAPHE DE CONTRÔLE 57Si r 1 , . . . r n sont des variables représentant les registres booléens R 1 , . . . R n alors NOr(R) représentel’ensemble des états dans lesquels tous les registres R i sont inactifs pour tout i ∈ [1..n].Nous remarquons que l’ensemble Or(R) = NOr(R) défini par :Or(R) = λX → r 1 ∨ . . . ∨ r n (4.14)représente l’ensemble des états dans lesquels au moins un registre R i est actif pour i ∈ [1..n].L’ensemble des variables de registres inactifs est déterminé à partir du graphe de flot de contrôle,plus particulièrement en considérant les noeuds de type pause. Etant donné un ensemble Xde noeuds du graphe, nous introduisons l’opérateur Register〈X〉 qui retourne l’ensemble desvariables de registres contenues dans les instructions de X :Register〈X〉 = {r / (pause r) ∈ X} (4.15)Cet opérateur nous permet d’établir le lien entre le graphe de flot de contrôle et les calculssymboliques à base de BDDs.Opérations de base dans le graphe de flot de contrôle. Soit (N , E) un graphe “traditionnel”où N représente l’ensemble des noeuds du graphe et E représente l’ensemble des arcsdu graphe. Nous notons Succ (N,E) (X) l’ensemble des noeuds successeurs de X, c’est à dire lesdestinations des arcs de E dont l’origine appartient à X :Succ (N,E) (X) = {j ∈ N / i ∈ X ∧ i↦→j ∈ E} (4.16)Nous introduisons également l’opérateur Trans (N,E) (X) qui retourne l’ensemble des arcs dugraphe dont l’origine appartient à l’ensemble de noeuds X :Trans (N,E) (X) = {i↦→j ∈ E / i ∈ X} (4.17)Calcul des blocs actifs. L’ensemble des registres situés à l’intérieur de la frontière se calculeà l’aide du graphe de flot de contrôle par fermeture transitive en excluant l’ensemble des arcsde type frontière. L’opérateur Closure (N,E) (Y) permet de calculer l’ensemble des noeuds atteignablesà partir d’un ensemble de noeuds initiaux Y en passant par les arcs de l’ensemble E. Nreprésente l’ensemble des noeuds du graphe. La fermeture transitive de Y se calcule par pointfixe de la manière suivante :Closure (N,E) (Y) = µ(λX → Y ∪ Succ (N,E) (X)) (4.18)où µ(f) désigne l’opérateur calculant le plus petit point fixe de f.Calcul de la surface. La fonction suivante calcule la “surface” d’un bloc de programme.A partir d’un ensemble de noeuds Y ⊆ N correspondant à un ensemble d’instructions de typepause, la surface Surface (N,E) (Y) de Y est l’ensemble des noeuds du graphe qui peuvent êtreatteints dans le même instant que l’une des instructions contenue dans Y. La surface se calculeselon le même principe que la fermeture transitive, en calculant les successeurs de Y qui ne sontpas de type pause. Si P représente l’ensemble de tous les noeuds de type pause contenus dansN :P = {i ∈ N / i = (pause r)} (4.19)
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