Calcul des etats atteignables de programmes Esterel partitionne ...

72 CHAPITRE 5. CALCUL DES ETATS ATTEIGNABLES PARTITIONNÉ∀x ∈ R part ∆(x) ∈ R part . Des deux propriétés précédentes, nous déduisons que l’imagede tout élément de R part est aussi contenue dans R part .R part ⊇ Θ n . Nous montrons que les applications successives de la fonction de transition sontcontenues dans l’ensemble R part :∀n ≥ 0∆ n (ι) ⊆ R partNous savons que R part ⊇ ι et par la propriété précédente, nous savons également que si∆ n−1 (ι) ⊆ R part alors ∆ n (ι) ⊆ R part pour tout n > 0.La décomposition de Θ n donnée à la section 5.2.1 nous permet donc de dire que :R part ⊇ Θ n (5.22)5.2.3.4 R n ⊆ Θ nOn démontrerait facilement que R n ⊆ Θ n et ainsi que R part ⊆ µ(Θ) : l’algorithme partitionnéne génère spontanément aucun nouvel état et à chaque étape de l’algorithme, les nouveaux étatssont calculés à partir d’anciens états eux-mêmes inclus dans µ(Θ).Pour conclure cette section, nous pouvons affirmer que notre algorithme partitionné estcorrect et calcule bien le point fixe µ(Θ).5.3 Analyse des caractéristiquesNous terminons ce chapitre par une brève analyse des caractéristiques de notre algorithmece qui amène une réflexion sur la forme des programmes pour lesquels cet algorithme est particulièrementadapté, compte tenu de sa complexité empirique. Nous terminons par des commentairessur la possibilité d’adapter notre technique à un autre type de codage des programmesque celui que nous utilisons (voir 2.1.4).5.3.1 ComplexitéThéoriquement, il est impossible de démontrer que notre algorithme est globalement meilleurque l’algorithme Breadth First Search : dans le pire des cas, ces deux algorithmes sont exponentielsen espace par rapport au nombre de registres, et la complexité en temps de notrealgorithme est possiblement beaucoup moins bonne puisqu’elle divise les étapes. Les qualités denotre algorithme ne peuvent être mises en évidence qu’empiriquement (voir chapitre 7).Soit p la “profondeur” du programme exploré, c’est à dire le nombre d’itérations nécessairespour calculer l’espace des états atteignables par l’algorithme Breadth First Search. Soit r lenombre de registres de ce programme. Dans le pire des cas, l’algorithme partitionné effectue del’ordre de p × r itérations (la libération de chacun des r registres peut déclencher à chaque foisp itérations).Chaque ouverture de frontière nécessite l’appel à des fonctions de manipulation de graphe(Closure, Surface). Dans le pire des cas, chacune de ces fonctions est polynomiale par rapportau nombre de noeuds du graphe et en pratique très rapide et particulièrement par rapport auxfonctions de manipulation des BDDs.