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66 CHAPITRE 5. CALCUL DES ETATS ATTEIGNABLES PARTITIONNÉ1 reachable ← ι2 pending ← ι3 (I , O , N , E , F) ← G(T)4 R ← Register〈N〉5 inner ← Closure (N,E) (I)6 R + ← Register〈inner〉7 area ← NOr(R R + )8 tantque ( pending ≠ ∅ ) faire9 surface ← Surface (N,E∪F) (inner)10 frontier ← Sort ≺ (Trans (N,F) (surface))11 i ← 112 pending ′ ← pending13 tantque ( (pending ∩ area) = ∅ ) faire14 f ← frontier[i]15 inner new ← Closure (N,E) (Dest(f))16 R new ← Register〈inner new 〉 R +17 si ( R new = ∅ ) alors18 E ← E ∪ {f}19 F ← F {f}20 inner ← inner ∪ inner new21 sinon si ( pending ′ ∩ Or(R new ) ≠ ∅ ) alors22 pending ′ ← pending ′ ∩ Or(R new )23 E ← E ∪ {f}24 F ← F {f}25 inner ← inner ∪ inner new26 R + ← R + ∪ R new27 area ← NOr(R R + )28 fin si29 i ← i + 130 fin tantque31 domain ← pending ∩ area32 new ← Image ∆ (Υ, domain) reachable33 pending ← (pending area) ∪ new34 reachable ← reachable ∪ new35 fin tantqueFig. 5.1 – Algorithme partitionné complet
5.2. CORRECTION DES ALGORITHMES 67Afin de démontrer la correction de notre algorithme, nous traduisons les algorithmes 2.1 et5.1 précédents sous forme de fonctions mathématiques récursives.5.2.1 Rappels et hypothèsesPropriétés du point fixe.point fixe µ(Θ) :Le théorème de Tarski nous permet d’expliciter la valeur de notreµ(Θ) = limn→∞ Θn (∅) (5.4)Comme nous travaillons dans l’ensemble fini B K , il existe un entier m tel que :µ(Θ) = Θ m (∅) (5.5)Calcul de Θ n (∅). Par commodité, nous définissons la suite Θ n de la manière suivante :Θ n = Θ n (∅) ∀n ≥ 0 (5.6)Nous cherchons à traduire l’expression de Θ n sous la forme d’une équation récursive. Nousvoulons montrer que :Vrai pour n = 1 :Si vrai pour n − 1 alors vrai pour n :Vrai pour tout n > 0.Θ n = Θ n−1 ∪ ∆ n−1 (ι) ∀n > 0 (5.7)Θ 1 = ι ∪ ∆(∅)= ι ∪ ∅= Θ 0 ∪ ∆ 0 (ι)Θ n = Θ(Θ n−1 ) par définition= Θ ( Θ n−2 ∪ ∆ n−2 (ι) ) par hypothèse de récurrence= ι ∪ ∆ ( Θ n−2 ∪ ∆ n−2 (ι) ) par définition de Θ= (ι ∪ ∆(Θ n−2 )) ∪ ∆ n−1 (ι) d’après 5.8= Θ(Θ n−2 ) ∪ ∆ n−1 (ι) par définition de Θ= Θ n−1 ∪ ∆ n−1 (ι)Propriétés de la fonction de transition.croissante. Ainsi :La fonction de transition ∆ est une fonctionIl est également facilement démontrable que :∆(F ∪ G) = ∆(F ) ∪ ∆(G) (5.8)∆(F G) ⊇ ∆(F ) ∆(G) (5.9)
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