Calcul des etats atteignables de programmes Esterel partitionne ...

58 CHAPITRE 4. NOTATIONSalors Surface (N,E) (Y) est définie de la manière suivante :Surface (N,E) (Y) = µ(λX → Y ∪ (Succ (N,E) (X) P)) (4.20)La définition de cette fonction demeure correcte même si tous les éléments de Y ne sont pas detype pause.4.3 Une relation d’ordre pour les frontières du grapheCette section a pour but de formaliser les idées présentées à la section 3.5.1. Il s’agit dedonner un ordre statique, a priori idéal pour une exploration exhaustive des états atteignables,et partiel sur l’ensemble des frontières du graphe.4.3.1 NotationsNous cherchons ici à définir formellement une relation d’ordre stricte notée “≺” entre lesfrontières du graphe. Cette relation nous permet de définir un ordre pour l’ouverture desfrontières. Ainsi, si x et y désignent deux frontières, alors le prédicat : «la frontière x doitêtre ouverte avant la frontière y» s’écrit :x ≺ yCette relation d’ordre se construit avec l’aide de l’arbre syntaxique et complète l’informationdonnée par le graphe de flot de contrôle. L’arbre syntaxique ne permet pas de définir directementune relation entre les frontières puisque l’arbre ne se compose que d’instructions, autrement ditde noeuds. Ainsi, si u et v sont deux instructions, alors nous cherchons avant tout à définir unprédicat : «l’accès à l’instruction u doit être ouvert avant l’accès à l’instruction v». Le prédicats’écrit de la même manière que précédemment :u ≺ vDès lors, dire que l’accès à l’instruction u doit être ouvert avant l’accès à l’instruction v estéquivalent à dire que tout arc-frontière menant à u doit être ouvert avant tout arc-frontièremenant à v, quelle que soit l’origine des arcs. Ceci s’écrit :u ≺ v ⇐⇒ (x↦→u) ≺ (y↦→v) ∀x, ∀y (4.21)De cette manière, décrire une relation entre les noeuds de l’arbre est strictement équivalent àdécrire implicitement une relation entre les frontières du graphe. Par commodité, nous définissonségalement l’opérateur “Δ qui permet de définir des relations d’ordre à partir d’ensemblesde noeuds. Ainsi, si U et V sont deux ensembles de noeuds, alors l’opérateur “Δ est défini dela manière suivante :4.3.2 Définition structurelleU Î V ⇐⇒ u ≺ v ∀u ∈ U, ∀v ∈ V (4.22)La séquence. Comme il est écrit dans la section 3.5.1, dans un programme séquentiel de laforme P ; Q, toutes les frontières de P doivent être ouvertes avant n’importe quelle frontièrede Q.