Calcul des etats atteignables de programmes Esterel partitionne ...

28 CHAPITRE 2. CONTEXTE DE L’ETUDE2.5.3 Calculs symboliques et BDDsAfin de construire les BDDs dans leur forme réduite, il est nécessaire de s’assurer que chaquenoeud U = (v ? t, e) est unique. Pour cela, nous supposons l’existence d’une table T qui à chaquetriplet (v ? t, e) associe un unique noeud U :T : (v ? t, e) → UNous supposons également que l’opération consistant à associer un triplet à un noeud est effectuéeen temps constant. En pratique cette complexité peut être obtenue en représentant Tpar une table de hachage.2.5.3.1 Formules propositionnellesLa décomposition de Shannon nous permet de transformer une expression booléenne f enune représentation sous forme de BDD notée bdd(f). Si un ordre sur les variables v 1 , . . . v n estfixé alors la construction de bdd(f) s’effectue récursivement de la manière suivante :bdd(f) = (v 1 ? bdd(f[v 1 →1]), bdd(f[v 1 →0]))La complexité en temps de cette construction est mauvaise car le nombre d’appels récursifs estexponentiel par rapport au nombre n de variables dans f et comme nous l’avons déjà dit, leBDD généré peut être de taille exponentielle.Il est malheureusement difficile de faire mieux car la construction d’un BDD à partir d’uneexpression booléenne est un problème NP-complet. Rappelons que tester si une expressionbooléenne est satisfiable est un problème NP-complet. Dans un BDD, ce test est réalisé en tempsconstant. Il est donc aussi difficile de trouver un algorithme polynomial capable de transformerune expression booléenne en BDD que de démontrer que P est égal à NP.2.5.3.2 Opérations basiquesLa négation d’un BDD peut se calculer en temps constant (voir section 2.5.2). Si ⋆ désigneun opérateur booléen binaire quelconque, et si U = (v ? t 1 , e 1 ) et V = (v ? t 2 , e 2 ) désignent deuxnoeuds de BDD portant sur la même variable v alors l’application de ⋆ à U et V s’effectue dela manière suivante :U ⋆ V = (v ? t 1 ⋆ t 2 , e 1 ⋆ e 2 )On pourra facilement se convaincre de la véracité de cette formule en utilisant la décompositionde Shannon sur U et V. Pour éviter l’explosion exponentielle du nombre d’appels récursifs, ilest possible d’utiliser une table permettant de mémoriser chaque résultat intermédiaire U i ⋆ V j .Nous supposons que l’accès à cette table en fonction de U i et V j peut être réalisé en tempsconstant. Si nous appelons m le nombre de noeuds de BDD de U et n le nombre de noeuds deBDD de V alors la complexité en temps et en espace du calcul de U ⋆ V dans le pire des cas estde l’ordre de m × n.2.5.3.3 QuantificationRestriction. Les calculs de quantification d’un BDD utilisent un opérateur de restriction. Larestriction d’un BDD consiste à remplacer une variable par une constante (0 ou bien 1) dans le