Calcul des etats atteignables de programmes Esterel partitionne ...

5.2. CORRECTION DES ALGORITHMES 69– si n = 1R 1 = ιN 1 = ι (5.15)– si n > 1R n = ∆(N n−1 ) ∪ R n−1N n = ∆(N n−1 ) R n−1 (5.16)5.2.2.2 Convergence de bfs (R, N)Par définition de Θ, µ(Θ) ≠ Θ 0 . µ(Θ) converge vers Θ n dès que Θ n = Θ n+1 . L’algorithmetraditionnel converge vers R bfs = R n lorsque N n = ∅, c’est à dire lorsque ∆(N n−1 ) ⊆ R n−1 ,c’est à dire lorsque R n = R n−1 . Les suites R n et Θ n convergent donc vers un même point fixeµ(Θ).5.2.2.3 R n = Θ nNous allons montrer que pour tout n > 0 nous avons :Vrai pour n = 1 :Si vrai pour n − 1 alors vrai pour n :R n = Θ n (5.17)N n = Θ n Θ n−1 (5.18)R 1 = ι= Θ 1N 1 = ι= Θ 1 ∅R n = ∆(Θ n−1 Θ n−2 ) ∪ Θ n−1N n = ∆(Θ n−1 Θ n−2 ) Θ n−1∆(Θ n−1 ) ∪ Θ n−1 ⊇ R n ⊇ (∆(Θ n−1 ) ∆(Θ n−2 )) ∪ Θ n−1∆(Θ n−1 ) Θ n−1 ⊇ N n ⊇ (∆(Θ n−1 ) ∆(Θ n−2 )) Θ n−1Nous pouvons également écrire :(ι ∪ ∆(Θ n−1 )) ∪ Θ n−1 ⊇ R n ⊇ ((ι ∪ ∆(Θ n−1 )) (ι ∪ ∆(Θ n−2 ))) ∪ Θ n−1(ι ∪ ∆(Θ n−1 )) Θ n−1 ⊇ N n ⊇ ((ι ∪ ∆(Θ n−1 )) (ι ∪ ∆(Θ n−2 ))) Θ n−1Ceci se réécrit en :Θ n ∪ Θ n−1 ⊇ R n ⊇ (Θ n Θ n−1 ) ∪ Θ n−1Θ n Θ n−1 ⊇ N n ⊇ (Θ n Θ n−1 ) Θ n−1