Sommario 1. Fisica, metodo scientifico, grandezze fisiche ...

Anna Nobili, Pisa 19 Maggio 2011Sulla superficie della Terra, alla distanza di 1 raggio terrestre dal suo centro, l`accelerazione di caduta (4.6)si indica con gg e si calcola usando la (4.6) con la massa e il raggio della Terra:MM ⊕ ≃ 5.98 ⋅ 10 24 kkkk RR ⊕ ≃ 6378 kkkk = 6.38 ⋅ 10 6 mm (4.7)da cui (in modulo):gg = GG MM ⨁RR ⨁2≃ 6.67 ⋅ 5.98 ⋅ 10 2410−11 ⋅(6.38 ⋅ 10 6 ) 2 mmss−2 ≃6.67 ⋅ 5.986.38 2 ⋅ 10 (−11+24−12)) mmss −2 ≃ 0.98 ⋅ 10 1 mmss −2≃ 9.8 mmss −2 (4.8)In ogni punto della superficie terrestre il vettore gg⃗ è radiale e punta verso il centro della Terra (Attenzione:è vero solo nell’assunzione che la Terra non giri sul suo asse).Caduta dei gravi (o lancio del proiettile) in approssimazione di Terra piatta e non rotanteAssumiamo che la Terra sia piatta. Siamo nel sistema di riferimento inerziale di Figura 2.8. E le linee di forzadel campo gravitazionale sono parallele, dirette lungo zz. L’equazione del moto di un corpo in caduta è:rr⃗̈ = −ggkk (4.9)Al tempo iniziale, che assumiamo tt oo = 0 , prendiamo i seguenti valori per il vettore posizione e per ilvettore velocità del corpo (caso generale):rr⃗(oo) = (xx oo , yy oo , zz oo ) rr⃗̇(oo) = vv xxxx , vv yyyy , vv zzzz (4.10)Le 3 equazioni del moto (una per ciascuna componente) sono:xẍ(tt) = 0 yÿ(tt) = 0 zz̈(tt) = −gg (4.11)Da queste, integrando una volta (rispetto al tempo), abbiamo le 3 componenti della velocità (in funzionedel tempo) usando i valori per le velocità iniziali dati dalle (4.10):xẋ(tt) = vv xxxx yẏ(tt) = vv yyyy zż (tt) = −gggg + vv zzzz (4.12)e integrando ancora uan volta rispetto al tempo otteniamo lo spazio percorso, in funzioen del tempo, lungociascuna coordinata:xx(tt) = vv xxxx tt + xx oo yy(tt) = vv yyyy tt + yy oo zz(tt) = − 1 2 ggtt2 + vv zzzz tt + zz oo (4.13)Il corpo arriverà a terra al tempo tt ff che dovrà soddisferà la relazione:0 = zztt ff = − 1 2 ggtt ff 2 + vv zzzz tt ff + zz oo (4.14)e quindi:12 ggtt ff 2 − vv zzzz tt ff − zz oo = 0 (4.15)18