Sommario 1. Fisica, metodo scientifico, grandezze fisiche ...

Anna Nobili, Pisa 19 Maggio 2011EE(xx, xẋ) = 1 2 kkxx2 + 1 2 mmxẋ 2= EE (cccccccccccccccc dddddd mmmmmmmm) (5.15)Notare la differenza concettuale tra la funzione energia EE = EE(xx, xẋ) che dipende in ogni punto dallaposizione e dalla velocità del corpo, e il valore costante EE di questa funzione che deve avere lo stessovalore numerico durante tutto il moto. In questo caso si dice anche che l’energia è un integrale primo delmoto.L’equazione del moto (3.2), con la forza (5.13) è:mmxẍ + kkkk = 0 (5.16)che riscriviamo nella formaxẍ + ωω 2 xx = 0 (5.17)avendo introdotto la grandezza fisica ωω = kk/mm che ha le dimensioni [ωω]=[ss −1 ] e dipende soltanto dallecaratteristiche fisiche dell’oscillatore: la sua costante elastica e la sua massa. La (5.17) ha 2 soluzioniindipendenti, tipo coseno o tipo seno. Possiamo scrivere la soluzione generale come:xx(tt) = cc 1 cccccc ωωωω + cc 2 ssssss ωωωω (5.18)con le costanti cc 1 , cc 2 (aventi le dimensioni di lunghezze) oppure come:xx(tt) = aa cccccc(ωωωω + αα) (5.19)dove le costanti aa, αα sono ampiezza e fase. Essendo:cccccc(ωωωω + αα) = cccccc ωωωω ⋅ cccccc αα − ssssss ωωωω ∙ ssssss αα (5.20)si ha che le costanti coinvolte nei due casi sono legate dalle relazioni:aa = cc 1 2 + cc 22tttt αα = − cc 1cc 2(5.21)Le due costanti necessarie vengono determinate dando posizione e velocità al tempo iniziale. ωω è lafrequenza propria (o naturale) di oscillazione dell’oscillatore, determinata da kk e da mm e indipendente dallecondizioni iniziali. Possiamo usare la soluzione nella forma (5.19) nella funzione energia (5.15) per calcolareil suo valore (useremo anche la derivata temporale della (5.19). Risulta:EE = 1 2 mmωω2 aa 2 (5.22)cioè, dato un oscillatore di frequenza naturale ωω, l’energia cresce col quadrato dell’ampiezza di oscillazione.Per esercizio vediamo come le costanti della soluzione (5.19) si ricavano dalle condizioni iniziali di posizionee velocità:xx(tt = 0) = xx 0 ee xẋ(tt = 0) = vv 0 (5.23)Dalla (5.19) al tempo tt = 0 abbiamo:30