Sommario 1. Fisica, metodo scientifico, grandezze fisiche ...

Anna Nobili, Pisa 19 Maggio 2011II nn = mm ii pp⃗ ⋅ (rr⃗ ii × nn) = mm ii rr⃗ ii ⋅ (nn × pp⃗) = mm ii rr⃗ ii ⋅ nn × (rr⃗ ii × nn) = mm ii rr⃗ ii ⋅ rr⃗ ii − nn(nn ⋅ rr⃗ ii )iiiiii= mm ii rr 2 ii − (nn ⋅ rr⃗ ii ) 2 (8.16)iiTorniamo al momento angolare nella forma (8.10). Se ne scriviamo le 3 componenti abbiamo 3 relazionilineari con le 3 componenti del vettore velocità angolare:LL xx = II xxxx ωω xx + II xxxx ωω yy + II xxxx ωω zzLL yy = II yyyy ωω xx + II yyyy ωω yy + II yyyy ωω zz(8.17)LL zz = II zzzz ωω xx + II zzzz ωω yy + II zzzz ωω zzessendo:iiII xxxx = mm ii rr 2 ii − xx 2 ii iiII xxxx = − mm ii xx ii yy iiiiDalle (8.19) si nota che:II yyyy = mm ii rr 2 ii − yy 2 ii iiII xxxx = − mm ii xx ii zz iiiiII zzzz = mm ii rr 2 ii − zz 2 ii (8.18)iiII yyyy = − mm ii yy ii zz ii (8.19)iiII xxxx = II yyyy II xxxx = II zzzz II yyyy = II zzzz (8.20)Possiamo scrivere le (8.17) come prodotto di matrici (analogamente alle (8.4) nel caso di 2 equazioni):LL xxII xxxx II xxxx II xxxx ωω xxLL yy = II yyyy II yyyy II yyyy ωω yy = IIωω⃗ (8.21)LL zz II zzzz II zzzz II zzzzωω zzdove con il simbolo II abbiamo indicato la matrice:II xxxx II xxxx II xxxxII = II yyyy II yyyy II yyyy (8.22)II zzzz II zzzz II zzzzle cui componenti hanno tutte le dimensioni di un momento di inerzia e che viene anche chiamato tensored’inerzia del corpo. Come si vede dalle (8.18), (8.19) le sue componenti coinvolgono le coordinate (oltre allemasse) di tutte le particelle che compongono il corpo rigido, ed esprimono quindi proprietà specifiche delcorpo. È naturale perciò scrivere le coordinate in un riferimento fisso con il corpo, in modo che non varinonel tempo e che gli elementi della matrice (8.22) siano tutti costanti.La matrice (8.22) ha 9 componenti ma soltanto 6 sono indipendenti (per le relazioni (8.19)). In questo casosi può dimostrare che è sempre possibile trovare un sistema di assi cartesiani rispetto ai quali gli elementifuori diagonale siano nulli e la matrice si riduca alla forma diagonale:II = II 1 0 00 II 2 00 0 II 3 (8.23)66