Sommario 1. Fisica, metodo scientifico, grandezze fisiche ...

Anna Nobili, Pisa 19 Maggio 2011VV(tt)PP(tt) = 2ππππ ⇒ ωω(tt) = VV(tt)/RR (8.35)Usiamo la conservazione dell’energia (energia iniziale = energia finale ) con la (8.14) per l’energia dirotazione del cilindro attorno al suo asse e la (8.33) per il momento d’inerzia del cilindro attorno al suo assedi simmetria:MMMMhh = 1 MMVV 22 ffffffffffff3MMVV 24 ffffffffffff+ 1 IIωω 2ffiiiiiiiiii 2 = 1 MMVV 22 ffffffffffff+ 1 2 1 2 MMRR2 VV ffffffffff ee 2 = 1 MMVV 2RR2 ffffffffffff+ 1 MMVV 24 ffffffffffff =(8.36)quindi, il cilindro che rotola su un piano inclinato di altezza hh arriva a terra con la velocità:VV ffiiiiiiiiii = 4 gghh (8.37)3Consideriamo ora una sfera di raggio RR e densità costante ρρ. La massa della sfera è:MM = ρρ 4 3 ππRR3 (8.38)Per calcolare il momento d’inerzia della sfera rispetto ad un qualunque asse passante per il centro di massascegliamo l’ asse zz e partiamo dall’elemento di massa (θθ è la latitudine):dddd = ρρ(2ππππππππππππ)(rrrrrr)dddd (8.39)la cui distanza minima dall’ asse zz è rrrrrrrrrr. Il momento di inerzia della sfera rispetto all’asse zz è:RRII ssssssssss = 2 ⋅ 2ππππ rr 4 dddd0 ππ/2cccccc 3 θθθθθθ0 = 4 5 ππππRR5 (1 − ssssss 2 θθ)dd(ssssssss) = 4 5 ππππRR5 2 3 = 2 5 MMRR2 (8.40)Per ragioni di simmetria la sfera non ha alcun asse preferenziale, tutti gli assi si equivalgono e quindi questoè il momento di inerzia della sfera .Equazioni del moto di un corpo rigidoLa legge di Newton (3.7) si applica anche al corpo rigido per i suoi moti di rotazione attorno ad un puntofisso:LL⃗̇= NN⃗ (8.41)dove NN⃗ è il momento rispetto al punto fisso della forza agente sul corpo (in presenza di più forze si calcola ilmomento di ciascuna forza e si sommano vettorialmente tutti i momenti applicati). Questa equazione valeè scritta in un sistema di riferimento inerziale. Per usare il riferimento solidale con il corpo (e in particolarequello degli assi principali d’inerzia) ricordiamo la (7.1), che permette di scrivere la derivata temporale delvettore momento angolare nel riferimento inerziale in relazione a quella nel riferimento fisso con il corporigido:69