Sommario 1. Fisica, metodo scientifico, grandezze fisiche ...

Anna Nobili, Pisa 19 Maggio 2011Da un punto di vista fisico questo significa scegliere come sistema di assi solidali con il corpo i suoi assiprincipali di inerzia (in modo da rispettarne le simmetrie). I coefficienti II 1 , II 2 , II 3 sono dati dalle (8.18) macon le coordinate riferite agli assi principali di inerzia del corpo, e si chiamano infatti momenti principali diinerzia del corpo. Dalle (8.18), scritte nel sistema degli assi principali di inerzia xx, yy, zz e ricordando cherr ii 2 = xx ii 2 + yy ii 2 + zz ii 2 si ha:II 1 = mm ii yy 2 ii + zz 2 ii iiII 2 = mm ii zz 2 ii + xx 2 ii iiII 3 = mm ii xx 2 ii + yy 2 ii (8.24)iicioè, essendo yy 2 ii + zz 2 ii la distanza minima della particella ii − eeeeeeeeee dall’asse xx, zz 2 ii + xx 2 ii la suadistanza minima dall’asse yy e xx 2 ii + yy 2 ii la sua distanza minima dall’asse zz si vede che i momenti principalidi inerzia (8.24) non sono altro che i momenti di inerzia del corpo rispetto a questi assi secondo ladefinizione classica (8.15).Una volta individuati gli assi principali di inerzia del corpo, la (8.21) con la (8.23) ci da:LL xx II 1 ωω xxLL⃗ = LL yy = II 2 ωω yy (8.25)LL zz II 3 ωω zze per l’energia cinetica di rotazione, dalla (8.12) abbiamo (usando le (8.25)):TT = 1 2 ωω⃗ ⋅ LL ⃗ = 1 2 II 1ωω xx 2 + 1 2 II 2ωω yy 2 + 1 2 II 3ωω zz2(8.26)che la esprime come somma dell’energia cinetica di rotazione attorno a ciascuno dei 3 assi principali diinerzia del corpo. Ad esempio, se consideriamo la Terra come uno sferoide oblato in rotazione attornoall’asse zz con velocità angolare ωω e chiamiamo II 3 il suo momento d’inerzia rispetto a questo asse,abbiamo:LL⃗ = (0, 0, II 3 ωω) TT = 1 2 II 3ωω 2 (8.27)Dimostriamo una relazione importante tra il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse passanteper il suo centro di massa e quello rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per un puntogenerico. Sia aa l’ asse passante per un generico punto PP del corpo e bb quello ad esso parallelo passante peril centro di massa CCCC. Prendiamo un sistema di assi cartesiani solidali col corpo con origine in PP. In essoscriviamo il momento di inerzia rispetto all’asse aa (come dalla definizione (8.15))II aa = mm ii (rr⃗ ii × nn aa ) 2 (8.28)iiIn questo riferimento il centro di massa è individuato dal vettore rr⃗ CCCC (definito come nella (8.1)):rr⃗ CCCC = ∑ ii mm iirr⃗ ii∑ ii mm iiSe chiamo rr⃗ ii′ il vettore posizione della particella ii − eeeeiiiiii rispetto al centro di massa, per la somma deivettori con la regola del parallelogramma vale:67