Sommario 1. Fisica, metodo scientifico, grandezze fisiche ...

Anna Nobili, Pisa 19 Maggio 2011Per verificare che le (8.3), (8.4) rappresentino correttamente la rotazione disegnata in Figura 8.2 facciamo ilcalcolo nel caso particolare in cui il punto di cui si vogliono scrivere le coordinate nel sistema sia PP = (1,0).Come mostrato in Figura, nel riferimento ruotato (xx ′ , yy ′ ) le coordinate dello stesso punto (cioè, sono gliassi che ruotano mentre il punto rimane fisso) sono PP = (cccccccc, −ssssssss) come in effetti ci danno le relazioniche abbiamo scritto.È importante stabilire se in problema dato si ruotano gli assi e i punti (vettori) restano fissi, oppureviceversa. Nel primo caso vogliamo sapere come le coordinate dello stesso punto (vettore) si scrivono neidue sistemi di riferimento; nel secondo caso vogliamo lasciare fisso il sistema di riferimento, ruotarefisicamente il vettore e scrivere le coordinate del vettore ruotato rispetto allo stesso sistema di assi. Sitratta di capire il problema che si sta affrontando. La differenza sta solo nel segno di θθ e quindi di ssssssss nelle(8.3), (8.4).Le (8.3), (8.4) ci permettono di passare dalle coordinate di ogni punto nel riferimento fisso a quelle dellostesso punto nel riferimento ruotato. Viceversa, possiamo scrivere il passaggio dalle coordinate nelriferimento ruotato a quelle nel riferimento fisso spostando solo il segno meno: xx yy = cccccccc ssssssss− sssssssscccccccc xx′ yy ′ (8.5)Energia cinetica di rotazione, momento angolare e momento di inerzia di un corpo rigidoNel seguito useremo spesso le seguenti relazioni tra vettori.Per il prodotto scalare tra 2 vettori di cui uno è a sua volta il risultato del prodottovettore di 2 vettori vale:aa⃗ ⋅ bb⃗ × cc⃗ = bb⃗ ∙ ( cc⃗ × aa⃗ ) = cc⃗ ∙ aa⃗ × bb⃗ (RR8.1)cioè si possono ruotare ciclicamente i vettori mantenendo fissi i simboli prodottoscalare e prodotto vettore. Notare che si è un numero, non di un vettore.Per il prodotto vettore tra 2 vettori di cui uno è a sua volta il risultato del prodottovettore di 2 vettori vale:aa⃗ × bb⃗ × cc⃗ = bb⃗ ( aa⃗ ∙ cc⃗ ) − cc⃗ aa⃗ ⋅ bb⃗(RR8.2)In questo caso si tratta di un vettore e non di uno scalare.Consideriamo un sistema di riferimento inerziale con origine degli assi nel centro di massa del corpo rigido.Ogni particella del corpo ha massa mm ii cccccc ii = 1, … . . , NN e raggio vettore posizione rr⃗ ii e il corpo ruota convelocità angolare ωω⃗ attorno all’origine-centro di massa. Non c’ è alcun moto di traslazione. L’energiacinetica di rotazione è:TT = 1 2 mm ii rr⃗̇ii ⋅ rr⃗̇ii (8.6)iiIl vettore velocità rr⃗̇ii rispetto al riferimento inerziale si scrive (vedi la (7.2)):64