Sommario 1. Fisica, metodo scientifico, grandezze fisiche ...

Anna Nobili, Pisa 19 Maggio 2011rr⃗ = rreêrr (7.22)da cui il vettore velocità si ottiene derivando rispetto al tempo e tenendo conto che il versore eêrr varia neltempo (si vedano le (2.13), dove si usavano i simboli ρρ, φφ ) e che rṙ = 0 , cioè il modulo del vettore posizionedel satellite rispetto alla Terra è costante perché l’orbita è stata assunta circolare:vv⃗ ≡ rr⃗̇ = rṙeêrr + rreê̇rr = rrθθ̇eêθθ (7.23)(vedi Figura 7.7 per la rappresentazione grafica del vettore velocità orbitale). Con la (7.22) e la (7.23) ilvettore momento angolare (7.20), che abbiamo visto essere un integrale del moto, si scrive:LL⃗ = rr⃗ × pp⃗ = mmrr⃗ × vv⃗ = mmmmeêrr × rrθθ̇eêθθ = mmrr 2 θθ̇eêzz (7.24)dove eêzz , che è il versore del momento angolare, è perpendicolare al piano del moto di Figura 7.7 (in versouscente) e non varia nel tempo. Dalla (7.24), poiché il momento angolare è un integrale del moto e l’orbitaè circolare (rr costante), segue che la velocità angolare orbitale θθ̇ è una costante, e quindi che anche ilmodulo vv della velocità orbitale vv⃗ (7.23) è costante (si noti che invece la sua direzione identificata dalversore eêθθ varia nel tempo.L’equazione del moto è la (7.6) dove la forza del riferimento inerziale è quella di attrazione gravitazionaleda parte della Terra e la forza di Coriolis è nulla perché nel riferimento rotante con il satellite il satellite èfermo. Scriviamo:mmrr⃗̈rrrrrr = − GGMM ⊕mmrr 2 eêrr + mmθθ̇ 2 rreêrr = 0⃗ (7.25)dove l’accelerazione del satellite rispetto al riferimento rotante è ovviamente nulla, visto che è fermorispetto ad esso. La (7.25) è quindi una equazione scalare nella sola direzione del versore radiale eêrr e siscrive nella forma:θθ̇ 22 rr 33 = GGMM ⨁ (7.26)che è la terza legge di Keplero scritta nel caso semplificato che stiamo studiando di un satellite di massatrascurabile rispetto alla Terra in orbita circolare di raggio rr attorno ad essa con velocità angolare costanteθθ̇: se abbiamo diversi satelliti artificiali su orbite circolari di diverso raggio attorno alla Terra, il rapporto trail quadrato del periodo orbitale PP = 2ππ/θθ̇ e il cubo del raggio orbitale è una costante (pari al prodottodella costante di gravitazione universale per la massa del corpo centrale, in questo caso quella della Terra).Dalla velocità orbitale (7.23), usando la terza legge di Keplero per la velocità angolare θθ̇ possiamo scriverela velocità orbitale del satellite lungo la sua orbita in funzione del raggio orbitale, e risulta:vv = GGMM ⨁rr(7.27)cioè la velocità lineare orbitale di un satellite in orbita circolare intorno alla Terra diminuisce come la radicequadrata del raggio orbitale, quindi, più bassa è l’orbita del satellite più velocemente esso si muove lungo lasua orbita.47