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2.3. PROPRIETà DELLE PROBABILITà UNIFORMI 10Esempio 10. Ricalcoliamo la probabilità di uscita del 23 su unacerta ruota nel lotto. Se A è l’evento che esce il 23 ed A i è l’evento cheil 23 esce all’i-sima estrazione, per i = 1, . . . , 5, si ha che gli A i sonodisgiunti e P (A i ) = 1/90, per cui5∑P (A) = P (∪ 5 i=1A i ) = P (A i ) = 5/90i=1Per la probabilità dell’unione di n eventi anche non disgiunti si ha:Lemma 3. (Formula di inclusione-esclusione) Per ogni A i ⊆ S,i = 1, . . . , nP (∪ n i=1A i ) =n∑k=1∑{i 1 ,...,i k }∈I n,k(−1) k+1 P (A i1 ∩ · · · ∩ A ik ), (2.1)≠ove I n,k = {{i 1 , . . . , i k }|i j ∈ {1, . . . , n} per ogni j, i j ≠ i j ′ per jj ′ }.Dimostrazione. Segue dalla parte (1) del Lemma 2 per induzione.Per n = 2 essa è equivalente infatti alla tesi. Supponiamo quindi validala conclusione per ogni famiglia di al più n − 1 eventi. Di nuovo dallaparte (1) del Lemma 2 e dall’ipotesi di induzione si haP (∪ n i=1A i ) = P (∪ n−1i=1 A i ∪ A n )= P (∪ n−1i=1 A i) + P (A n ) − P (∪ n−1i=1 A i ∩ A n )=∑n−1∑(−1) k+1 P (∩ k j=1A ij ) + P (A n )k=1 {i 1 ,...,i k }∈I n−1,k=∑n−1−n∑k=1∑k ′ =1 {i 1 ,...,i k ′}∈I n−1,k ′∑(−1) k′ +1 P (∩ k′j=1A ij ∩ A n ){i 1 ,...,i k }∈I n,k(−1) k+1 P (A i1 ∩ · · · ∩ A ik ).L’ultima uguaglianza vale avendo posto k ′ = k−1, da cui −(−1) k′ +1 =(−1) k+1 , in quanto i termini con n /∈ {i 1 , . . . , i k } vengono dalla primasommatoria, quelli con k > 1 ed n ∈ {i 1 , . . . , i k } vengono dalla secondaed il termine con k = 1 ed i 1 = n è P (A n ).□Si noti che la dimostrazione precedente è basata unicamente sullaparte (1) del Lemma 2.Esempio 11. In 3 lanci di una moneta, se A = {esce almeno una testa}e A i = {esce testa all’i-simo lancio}, si ha A = ∪ 3 i=1A i . Si può applicarela (2.1) e per questo basta osservare che per i, j ∈ {1, . . . , 3} diversi