parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.4. DISTRIBUZIONE CONGIUNTA DI DUE VARIABILI ALEATORIE 75∞, si dice covarianza di X ed Y il valoreCov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).Si noti che per il Lemma 14 la definizione è ben posta e che valeCov(X, X) = V ar(X).Lemma 20.Cov(X, Y ) = E((X − E(X)(Y − E(Y )).Dimostrazione. Se Cov(X, Y ) esiste allora E(X 2 ), E(Y 2 ) < ∞ed anche E(|XY |), E(|X|), E(|Y |) < ∞, il che implica cheE(|X − E(X)||Y − E(Y )|) ≤ E(|XY | + |X||E(Y )| + |Y ||E(X)|per cui E((X − E(X))(Y − E(Y )) esiste. Ora≤+|E(X)||E(Y )|)E(|XY |) + 3E(|X|)E(|Y |) < ∞E((X − E(X))(Y − E(Y )) ≤ E(XY ) − XE(Y ) − Y E(X)≤+E(X)E(Y )E(XY ) + E(X)E(Y ) < ∞Dimensionalmente Cov(X, Y ) è il prodotto delle dimensioni di Xed Y . Per ottenere un numero puro dividiamo per il prodotto delledeviazioni standard, o equivalentemente, consideriamo la correlazionetra le variabili standardizzate.Definizione 34. Date variabili aleatorie X ed Y con distribuzionecongiunta tali che E(X 2 ), E(Y 2 ) < ∞, si dice correlazione di X edY il valorer = r(X, Y ) = Cov(X, Y )SD(X)SD(Y ) .Data una variabile aleatoria X con secondo momento finito, la variabilestandardizzata è definita da ¯X = X−E(X) e valgono E( ¯X) = 0SD(X)e V ar( ¯X) = E( ¯X) = 1 = SD( ¯X)Lemma 21. r = E( ¯XȲ ) = Cov( ¯XȲ )Dimostrazione. Dalle proprietà di ¯X e Ȳ si haCov( ¯XȲ ) = E( ¯XȲ )= E(( X − E(X) )( Y − E(Y )SD(X) SD(Y ) ))Cov(X, Y )=SD(X)SD(Y )Oltre ad essere un numero puro la correlazione è limitata:□□