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6.5. VETTORI ALEATORI CONTINUI 77Definizione 36. In un vettore aleatorio continuo X= (X 1 , . . . , X n ),ciascuna delle sue componenti X i è una variabile aleatoria continua,con una sua distribuzione (R, f Xi ) ottenuta come distribuzionemarginale da∫f X1 (x 1 ) = f(x)dx 2 · . . . · dx n−1 .R n−1Naturalmente la definizione precedente si applica ad ogni proiezioneo marginale X i , per cui anche nel caso continuo dalle congiunte sideterminano le distribuzioni marginali.Esempio 70. Sia f = c · I T in cui T è il triangolo{x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : 0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1 − x 1 }.Dalla (ii) della definizione di spazio continuo si ha∫1 = f(x)dxR∫2 ∫= c ( I T (x)dx 2 )dx 1= c= cR∫ 10∫ 10(R∫ 1−x10dx 2 )dx 1(1 − x 1 )dx 1 = c/2 (6.28)da cui c = 2, poichè essendo i domini di integrazione normali e l’integrandacontinua l’integrale si può calcolare tramite integrali ripetuti.La marginale di X 1 si ottiene da∫f Xi (x 1 ) = f(x)dx 2 = 2(1 − x 1 ).R n−1Data una funzione Φ : R n → R ed un vettore aleatorio X, lacomposizione Φ(X) è una variabile aleatoria. Senza determinarne ladensità possiamo fin da ora calcolarne il valore atteso rispetto alladistribuzione di X come∫E(Φ(X)) = Φ(x)f(x)dx.R nLemma 22. Dato il vettore aleatorio X= (X 1 , . . . , X n ) si han∑E( X i ) =i=1n∑E(X i ).i=1