parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.4. DISTRIBUZIONE CONGIUNTA DI DUE VARIABILI ALEATORIE 74calcolo completeremo il quadrato all’esponente ottenendo delle costanti(ossia funzioni di σ X ecc. ma non della variabile di integrazione xe della variabile della funzione t), ma il loro valore sarà irrilevante,quindi non lo calcoliamo. Potremo calcolare quanto sarà il valore ditali∫costanti direttamente nell’ultima formula in quanto sappiamo che+∞f −∞ X+Y (t)dt = 1. Per calcolare l’integrale nella terza riga si effettuail cambiamento di variabili z = ax + bt ed il risultante integrale sicalcola essendo l’integranda una gaussiana.f X+Y (t) =∫ +∞= 12π= 12π−∞∫ +∞1√2πσX1√2πσYe −(x−µ X) 2 /(2σ X ) e −(t−x−µ Y ) 2 /(2σ Y ) dx−∞∫ +∞−∞= e −γ′ t 2 12πe −(αx2 +βxt+γt 2 )/2−γ ′ t 2 dxe −(ax+bt)2 /2−γ ′ t 2 dx∫ +∞−∞ce −z2 /2 dz = de −γ′ t 2 .Abbiamo quindi concluso che la densità di X + Y è gaussiana. Ora,poiché sappiamo che E(X +Y ) = E(X)+E(Y ) = µ X +µ Y e V ar(X +Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) = σX 2 + σ2 Y , quest’ultima uguaglianza discendendodall’indipendenza, necessariamente X+Y ∼ N(µ X +µ Y , σ Y +σY 2 )e la forma delle costanti d e γ ′ è determinata.Relazioni con la distribuzione di Poisson. Date variabili aleatoriei.i.d. X i ∼ Exp(λ) ed un valore T > 0 consideriamo la probabilitàchek∑ ∑k+1{N T = k} = { X i < T < X i }i=1che si può interpretare dicendo che il k + 1-simo tempo di vita è quelloche permette al totale di superare T , ossia che il numero N T di interruzioniprima di T è esattamente k. Dalla formula delle probabilitàtotali per le densità condizionate continue si haP (N T = k) =∫ T0i=1λ(λx) k−1e −λx e −λ(T −x) dx =Γ(k)ossia N T ha distribuzione di Poisson(λT ).(λT )ke −λ(T )k!Vogliamo introdurre ora una misura della dipendenza di variabilialeatorie che vale sia per le variabili discrete che per quelle continue,limitandoci al caso appena trattato di due variabili. Abbiamo visto chenel caso di variabili aleatorie indipendenti il valore atteso del prodottosi fattorizza, per cui viene naturale di studiare la quantità seguente:Definizione 33. Dato un vettore aleatorio (X, Y ), ossia due variabilialeatorie e la loro distribuzione congiunta, tali che E(X 2 ), E(Y 2 )