parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.4. DISTRIBUZIONE CONGIUNTA DI DUE VARIABILI ALEATORIE 69Distribuzione Gamma Una variabile aleatoria X con densitàf X (x) = λ(λx)k−1 e −λxΓ(k)per x ≥ 0, λ > 0 e k ≥ 1, è detta avere distribuzione Gamma e siindica X ∼ Γ(k, λ). Si è presoΓ(k) =∫ ∞0x k−1 e −x dxper cui la densità Gamma è ben definita. Si noti che nel caso k = 1 siottiene la distribuzione esponenziale e in generale si vedrà che nel casok intero ha distribuzione Γ(k, λ) la sommaT k = X 1 + . . . X kdi k variabili aleatorie esponenziali indipendenti di parametro λ, mentreΓ(k) = (k−1)!. Tale somma si può interpretare come il tempo di attesadi k eventi indipendenti in serie.6.4. Distribuzione congiunta di due variabili aleatorieFinora abbiamo considerato variabili aleatorie continue isolatamente,ora iniziamo a trattare il caso di due variabili considerate congiuntamente.Il caso di n variabili non conterrà differenze sostanziali trannela più complessa formalizzazione e la necessità di trattazione algebrica.Per semplicità limiteremo i possibili insiemi di discontinuità nellaprossima definizione a rette.Le variabili aleatorie discrete congiunte sono state già presentatenella sezione su vettori aleatori discreti, ma la presentazione che seguenon presupporrà la conoscenza di quanto trattato in quella sezione epresenterà insieme le coppie di variabili discrete e continue.Definizione 29. La densità congiunta di due variabili aleatorieX ed Y discrete su spazi di probabilità S X ed S Y è una funzione p X,Ydefinita su S X × S Y a valori in R tale che(i) p X,Y (x, y) ∈ [0, 1]e(ii) ∑ S X ×S Yp X,Y (x, y) = 1mentre per le variabili continue è una funzione f X,Y : R 2 → R,continua tranne al più un insieme costituito da un numero finito dirette, tale che(i) f X,Y (x, y) ≥ 0 per ogni (x, y) ∈ R 2e(ii) ∫ fR 2 X,Y (x, y)dxdy = 1.Per f = f X,Y (R 2 , f) è detto spazio di probabilità continua in R 2 eanche distribuzione congiunta di X ed Y ;