parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

Infatti correttamente si ha;∞∑P (i) =.5.2. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 54i=1∞∑(1 − p) i−1 p = 1i=1Definizione 14. Lo spazio di probabilità (S, P ) relativo al primosuccesso in prove indipendenti ognuna con probabilità di successo p èdetto distribuzione geometrica di parametro p.Si noti che anche l’approssimazione di Poisson generava una funzionedi k per k ∈ N; inoltre poiché∞∑ λ kk! e−λ = 1k=0si possono prendere questi valori come probabilità:Definizione 15. Per ogni λ ∈ R, uno spazio di probabilità (S, P )con S = N e P data daP (k) = λkk! e−λè detto distribuzione di Poisson di parametro λ.5.2. Variabili aleatorie discretePassiamo ora allo studio delle variabili aleatorie definite su unospazio di probabilità discreto. Non c’è nessuna difficoltà a porreDefinizione 16. Dato uno spazio di probabilità (S, P ), una variabilealeatoria discreta X è una funzione X : S → R.Anche per una variabile aleatoria discreta X è possibile definire ladistribuzione (S X , P X ) come in (4.12).Esercizio 13. Verificare che (S X , P X ) è uno spazio di probabilitàdiscreto.Si può poi ripetere la Definizione 6 di uguaglianza in distribuzione.Esempio 54. Se (S, P ), S = N è uno spazio di probabilità chedescrive la distribuzione del primo successo in prove indipendenti conprobabilità di successo p, la variabile aleatoria Y = tempo del primosuccesso è definita da X(k) = k ha distribuzione P (X = j) = (1 −p) j−1 p é detta variabile geometrica(p), mentre la variabile aleatoria Y =tempo di attesa del primo successo è definita da Y (k) = k − 1 hadistribuzione P (Y = j) = (1 − p) j p.Si noti che Y = d X − 1.Esempio 55. Se (S λ , P λ ) è uno spazio di probabilità di Poisson euna variabile aleatoria N ha distribuzione (S λ , P λ ) allora si dice che Nha distribuzione di Poisson(λ).