parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.2. FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE 65Esempio 62. Calcolare valore atteso e SD della distribuzione uniformesu [a, b].Esempio 63. Se X ∼ N(µ, σ 2 ) allora E(X) = µ e SD(X) = σ.Infatti, se X ∼ N(µ, σ 2 ) alloraE(X) =∫ +∞−∞1√2πxe −x2 /2 dx = 0essendo la funzione dispari; inoltre integrando per parti questo integralenoto si ha:∫ +∞11 = √ e −x2 /2 dx = 1∫ +∞√ ([xe −x2 /2 ] +∞−∞ + x 2 e −x2 /2 dx)2π 2π=−∞∫1 +∞√ x 2 e −x2 /2 dx)2π−∞da cui, essendo E(X) = 0,V ar(X) = E(X 2 ) =∫ +∞−∞−∞1√2πx 2 e −x2 /2 dx = 1.Per il caso generale basta effettuare il cambio di variabili z = (x−µ)/σ.6.2. Funzione di distribuzioneUna descrizione delle variabili aleatorie che inizia ad unificare iltrattamento delle variabili discrete e continue è la funzione cumulativao funzione di distribuzione.Definizione 27. Si dice funzione funzione cumulativa o funzionedi distribuzione F X di una variabile aleatoria X la funzioneF X : R → R tale cheF X (t) = P (X ≤ t).Tale definizione è valida sia per le variabili aleatorie discrete checontinue.Esempio 64. La funzione di distribuzione di una variabile aleatoriaY ∼ U({1, . . . , 6}) vale⌊t⌋ ∧ 6F Y (t) = I t≥0 .6Esempio 65. Se Z ∼ U([a, b]) alloraF Z (t) = I t≥at ∧ b − ab − a .Esempio 66. In generale i valori∫della funzione di distribuzionedella normale standard Φ(t) = √ 1 t /22π −∞ e−x2 dx non si calcolano attraversoun integrale esplicito e sono approssimati numericamente: sipossono trovare in tutti i programmi statistici per computer o tabulatinei testi di probabilità e statistica.